वैधुत आवेश तथा क्षेत्र प्रश्न उत्तर Ncert Solution for Class 12 Physics Chapter 1 in Hindi

Class 12 Physics Chapter 1 वैधुत आवेश तथा क्षेत्र ncert solutions: विद्युत आवेश तथा क्षेत्र प्रश्न उत्तर

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प्रश्न 1.1: वायु में एक-दूसरे से 30 cm दूरी पर रखे दो छोटे आवेशित गोलों पर क्रमशः 2 × 10⁻⁷ C तथा 3 × 10⁻⁷ C आवेश हैं। उनके बीच कितना बल है?

उत्तर 1.1: हम इस समस्या को हल करने के लिए कूलम्ब के नियम का उपयोग कर सकते हैं। कूलम्ब के नियम के अनुसार, दो बिंदु आवेशों के बीच विद्युत बल निम्नलिखित समीकरण द्वारा दिया जाता है: \( F = \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \cdot \frac{q_1 q_2}{r^2} \)

दिया गया:

• पहले गोले पर आवेश, q₁  = 2 × 10⁻⁷  C
• दूसरे गोले पर आवेश, q₂  = 3 × 10⁻⁷  C
• आवेशों के बीच दूरी, r = 30 सेमी = 0.3 मीटर

अब हम इन मूल्यों को समीकरण में डालते हैं:

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\(F = 9 \times 10^9 \cdot \frac{(2 \times 10^{-7}) \cdot (3 \times 10^{-7})}{(0.30)^2}\)

चलो इसे हल करते हैं:

\(F = 9 \times 10^9 \cdot \frac{6 \times 10^{-14}}{0.09}\)

\(F = 9 \times 10^9 \cdot 6.67 \times 10^{-13}\)

F = = 6 × 10^-3 

तो, दोनों गोलों के बीच बल 6 × 10^-3 न्यूटन है।

प्रश्न 1.2: 0.4 μC आवेश के किसी छोटे गोले पर किसी अन्य छोटे आवेशित गोले के कारण वायु में 0.2 N बल लगता है। यदि दूसरे गोले पर 0.8 μC आवेश हो तो (a) दोनों गोलों के बीच कितनी दूरी है? (b) दूसरे गोले पर पहले गोले के कारण कितना बल लगता है?

उत्तर 1.2: इस प्रश्न को हल करने के लिए हम फिर से कूलम्ब के नियम का उपयोग करेंगे:

\(F = k \cdot \frac{q_1 \cdot q_2}{r^2}\)

जहाँ:

• ( F ) = बल (न्यूटन में)
• ( k ) = कूलम्ब स्थिरांक \( 9 \times 10^9 \, \text{N m}^2 \, \text{C}^{-2} \)
• ( q₁ ) और ( q₂ ) = आवेश (कूलम्ब में)
• ( r ) = दूरी (मीटर में)

(a) दूरी निकालने के लिए:

यहाँ दिए गए हैं:

• \( F = 0.2 \, N \)
• \( q_1 = 0.4 \, \mu C = 0.4 \times 10^{-6} \, C \)
• \( q_2 = 0.8 \, \mu C = 0.8 \times 10^{-6} \, C \)

अब कूलम्ब के नियम के अनुसार बल का सूत्र होगा:

\(0.2 = 9 \times 10^9 \cdot \frac{(0.4 \times 10^{-6}) \cdot (0.8 \times 10^{-6})}{r^2}\)

अब इस समीकरण को हल करते हैं:

\(0.2 = 9 \times 10^9 \cdot \frac{3.2 \times 10^{-13}}{r^2}\)

\(r^2 = \frac{9 \times 10^9 \cdot 3.2 \times 10^{-13}}{0.2}\)

\(r^2 = \frac{2.88 \times 10^{-3}}{0.2}\)

\(r^2 = 1.44 \times 10^{-2}\)

\(r = \sqrt{1.44 \times 10^{-2}}\)

\(r = 0.12 \, \text{m}\)

तो, दोनों गोलों के बीच की दूरी r = 0.12 m या 12 सेंटीमीटर है।

(b) दूसरे गोले पर पहले गोले के कारण कितना बल लगता है:

कूलम्ब के नियम के अनुसार, दोनों आवेशों के बीच का बल बराबर और विपरीत होता है (न्यूटन के तृतीय नियम के अनुसार)। इसका मतलब यह है कि दूसरे गोले पर पहले गोले के कारण भी बल वही होगा, जो पहले गोले पर दूसरे गोले के कारण है, यानी 0.2 N है।

अतः:

• दोनों गोलों के बीच की दूरी 0.12 m है।
• दूसरे गोले पर पहले गोले के कारण बल 0.2 N है।

प्रश्न 1.3: जाँच द्वारा सुनिश्चित कीजिए कि \( \frac{ke^2}{Gm_em_p}\) विमाहीन है। भौतिक नियतांकों की सारणी देखकर इस अनुपात का मान ज्ञात कीजिए। यह अनुपात क्या बताता है?

उत्तर 1.3: (1) \(\frac{ke^2}{Gm_em_p}\) का विमीय विश्लेषण:

हमें यह जांचना है कि \(\frac{ke^2}{Gm_em_p}\) अनुपात विमाहीन (dimensionless) है या नहीं।

जहाँ:

• ( k ) = कूलम्ब स्थिरांक \( = 9 \times 10^9 \, \text{N} \cdot \text{m}^2 / \text{C}^2 \)
• ( e ) = इलेक्ट्रॉन का आवेश \( = 1.6 \times 10^{-19} \, \text{C} \)
• ( G ) = गुरुत्वाकर्षण नियतांक \( = 6.67 \times 10^{-11} \, \text{N} \cdot \text{m}^2 / \text{kg}^2 \)
• ( m_e ) = इलेक्ट्रॉन का द्रव्यमान \( = 9.1 \times 10^{-31} \, \text{kg} \)
• ( m_p ) = प्रोटॉन का द्रव्यमान \( = 1.67 \times 10^{-27} \, \text{kg} \)

हम इन सभी का विमीय विश्लेषण करेंगे:

1. ( k ) की विमाएँ:
\([k] = \frac{\text{N} \cdot \text{m}^2}{\text{C}^2}\)

\(= \frac{[\text{M}^1 \text{L}^1 \text{T}^{-2}] \cdot \text{L}^2}{[\text{I}^2 \cdot \text{T}^2]}\)

\(= \text{M}^1 \text{L}^3 \text{T}^{-4} \text{I}^{-2}\)

( e² ) की विमाएँ:
\([e^2] = [\text{C}^2] = [\text{I}^2 \cdot \text{T}^2]\)

( G ) की विमाएँ:
\([G] = \frac{\text{N} \cdot \text{m}^2}{\text{kg}^2}\)

\(= \frac{[\text{M}^1 \text{L}^1 \text{T}^{-2}] \cdot \text{L}^2}{[\text{M}^2]}\)

\(= \text{M}^{-1} \text{L}^3 \text{T}^{-2}\)

( m^e ) और ( m^p ) की विमाएँ:
\([m_e] = [m_p] = \text{M}\)

अब हम इस पूरे अनुपात का विमीय विश्लेषण करेंगे:

\(\frac{ke^2}{Gm_em_p}\)

= \(\frac{[\text{M}^1 \text{L}^3 \text{T}^{-4} \text{I}^{-2}] \cdot [\text{I}^2 \cdot \text{T}^2]}{[\text{M}^{-1} \text{L}^3 \text{T}^{-2}] \cdot [\text{M} \cdot \text{M}]}\)

इसका परिणाम होगा:

\(= \frac{\text{M}^1 \text{L}^3 \text{T}^{-4} \text{I}^{-2} \cdot \text{I}^2 \text{T}^2}{\text{M}^{-1} \text{L}^3 \text{T}^{-2} \cdot \text{M}^2}\)

\(= \frac{\text{M}^1 \text{L}^3 \text{T}^{-4} \text{T}^2}{\text{M}^{-1} \text{L}^3 \text{T}^{-2} \cdot \text{M}^2}\)

\(= \frac{\text{M}^1 \cdot \text{T}^{-2}}{\text{M}^{1}} = \text{M}^0 \text{L}^0 \text{T}^0 = 1\)

इससे स्पष्ट है कि \(\frac{ke^2}{Gm_em_p}\) विमाहीन (dimensionless) है।

(2) अनुपात का मान ज्ञात करें:

अब हम इस अनुपात का मान गणना करते हैं:

\(\frac{ke^2}{Gm_em_p} = \frac{9 \times 10^9 \cdot (1.6 \times 10^{-19})^2}{6.67 \times 10^{-11} \cdot (9.1 \times 10^{-31}) \cdot (1.67 \times 10^{-27})}\)

इसे सरलीकृत करें: \( = \frac{9 \times 10^9 \times 2.56 \times 10^{-38}}{1.013 \times 10^{-68}} = 2.3 \times 10^{39} \)

(3) यह अनुपात क्या बताता है?

यह अनुपात \( \frac{ke^2}{Gm_em_p} \) विद्युत बल और गुरुत्वीय बल के बीच के अनुपात को दर्शाता है। इसका मान \( 10^{39} \) के आस-पास होता है, जो यह बताता है कि किसी इलेक्ट्रॉन और प्रोटॉन के बीच विद्युत बल, उनके बीच के गुरुत्वीय बल की तुलना में अत्यधिक बड़ा होता है।

इसका मतलब यह है कि परमाणु स्तर पर विद्युत बल गुरुत्वीय बल की तुलना में बहुत अधिक प्रभावी होता है, जबकि गुरुत्वीय बल केवल विशाल पिंडों के बीच ही प्रमुखता से देखा जाता है।

प्रश्न 1.4: (a) “किसी वस्तु का वैद्युत आवेश क्वाण्टीकृत है। इस प्रकथन से क्या तात्पर्य है? (b) स्थूल अथवा बड़े पैमाने पर वैद्युत आवेशों से व्यवहार करते समय हम वैद्युत आवेश के  क्वांटमीकरण की उपेक्षा कैसे कर सकते हैं?

उत्तर 1.4: (a) किसी पिंड का विद्युत आवेश क्वांटाइज्ड होता है। इसका मतलब है कि एक पिंड से दूसरे पिंड में केवल पूर्णांक (1, 2, …., n) इलेक्ट्रॉन ही स्थानांतरित किए जा सकते हैं। आवेश अंशों में स्थानांतरित नहीं होते। इसलिए, किसी पिंड में कुल आवेश केवल विद्युत आवेश के पूर्णांक गुणकों में ही होता है।

(b) इलेक्ट्रॉन के आवेश की तुलना में, e = 1.6 x 10^-19C, मैक्रोस्कोपिक स्तर पर आवेश बहुत अधिक होते हैं। केवल 1 nC आवेश में लगभग 10¹³ इलेक्ट्रॉनिक आवेश होते हैं। इसलिए, इस उच्च पैमाने पर विद्युत आवेश का परिमाणीकरण अप्रासंगिक है क्योंकि आवेश e के असतत पूर्णांक गुणक के बजाय एक सतत मान ले सकता है।

प्रश्न 1.5: जब काँच की छड़ को रेशम के टुकड़े से रगड़ते हैं तो दोनों पर आवेश आ जाता है। इसी प्रकार की परिघटना का वस्तुओं के अन्य युग्मों में भी प्रेक्षण किया जाता है। स्पष्ट कीजिए कि यह प्रेक्षण आवेश संरक्षण नियम से किस प्रकार सामंजस्य रखता है?

उत्तर 1.5: घर्षण द्वारा आवेशन की घटनाएँ आवेश संरक्षण नियम के साथ पूर्ण सामंजस्य रखती हैं। जब इस प्रकार की किसी घटना में दो उदासीन वस्तुओं को रगड़ा जाता है तो दोनों वस्तुएँ आवेशित हो जाती हैं। घर्षण से पूर्व दोनों वस्तुएँ उदासीन होती हैं अर्थात् उनका कुल आवेश शून्य होता है। इस प्रकार के सभी प्रेक्षणों में सदैव यह पाया गया है कि एक वस्तु पर जितना धनावेश आता है, दूसरी वस्तु पर उतना ही ऋणावेश आता है। इस प्रकार घर्षण द्वारा आवेशन के बाद भी दोनों वस्तुओं का नेट आवेश शून्य ही बना रहता है।

प्रश्न 1.6: चार बिन्दु आवेश q_A = 2 μC, q_B = -5 μC, q_C = 2 μC तथा q_D = -5 μC, 10 cm भुजा के किसी वर्ग ABCD के शीर्षों पर अवस्थित हैं। वर्ग के केन्द्र पर रखे 1 μC आवेश पर लगने वाला बल कितना है ?

उत्तर 1.6: दी गई आकृति में 10 सेमी भुजा वाला एक वर्ग दिखाया गया है जिसके कोनों पर चार आवेश रखे गए हैं। O वर्ग का केंद्र है।

(भुजाएँ) AB = BC = CD = AD = 10 सेमी

वर्ग का विकर्ण है

\( \sqrt{2} \times \text{side} = \sqrt{2} \times 10 \text{ cm} = 10\sqrt{2} \text{ cm} \).

केंद्र से कोने तक की दूरी है

\( \frac{\text{diagonal}}{2} = 5\sqrt{2} \text{ cm} = 0.05\sqrt{2} \text{ m} \).

बिन्दु O पर 1μC आवेश रखा गया है।

कोने A और केंद्र O पर रखे आवेशों के बीच प्रतिकर्षण बल परिमाण में बराबर है, लेकिन कोने C और केंद्र O पर रखे आवेशों के बीच प्रतिकर्षण बल के सापेक्ष दिशा में विपरीत है। इसलिए, वे एक दूसरे को रद्द कर देंगे। इसी तरह, कोने B और केंद्र O पर रखे आवेशों के बीच आकर्षण बल परिमाण में बराबर है, लेकिन कोने D और केंद्र O पर रखे आवेशों के बीच आकर्षण बल के सापेक्ष दिशा में विपरीत है। इसलिए, वे एक दूसरे को भी रद्द कर देंगे। इसलिए, केंद्र O पर 1 μC आवेश पर वर्ग के कोने पर रखे गए चार आवेशों द्वारा लगाया गया शुद्ध बल शून्य है।

प्रश्न 1.7: (a) स्थिर विद्युत-क्षेत्र रेखा एक सतत वक्र होती है अर्थात कोई क्षेत्र रेखा एकाएक नहीं टूट सकती क्यों? (b) स्पष्ट कीजिए कि दो क्षेत्र रेखाएँ कभी-भी एक-दूसरे का प्रतिच्छेदन क्यों नहीं करतीं?

उत्तर 1.7: (a) विद्युत-क्षेत्र रेखाएँ उस दिशा को दर्शाती हैं जिसमें विद्युत क्षेत्र का बल होता है। यदि कोई विद्युत-क्षेत्र रेखा किसी स्थान पर टूट जाए, तो इसका मतलब यह होगा कि उस स्थान पर विद्युत क्षेत्र का कोई स्पष्ट परिमाण या दिशा नहीं है, जो वास्तविकता के विपरीत है। विद्युत-क्षेत्र एक निरंतर क्षेत्र होता है, इसलिए इसका परिमाण और दिशा हर बिंदु पर निश्चित और सतत होती है। इस कारण से, विद्युत-क्षेत्र रेखाएँ एक सतत वक्र बनाती हैं और एकाएक नहीं टूट सकतीं।

(b) यदि दो क्षेत्र रेखाएँ एक-दूसरे का प्रतिच्छेदन करती हैं, तो उस प्रतिच्छेदन बिंदु पर दो दिशाओं में विद्युत क्षेत्र का अस्तित्व होना चाहिए। लेकिन यह असंभव है, क्योंकि किसी भी बिंदु पर विद्युत क्षेत्र की केवल एक ही दिशा होती है। विद्युत-क्षेत्र की दिशा उस बिंदु पर केवल एक ही हो सकती है, जो कि तर्कसंगत रूप से क्षेत्र रेखाओं के प्रतिच्छेदन को असंभव बनाती है। इसलिए, दो क्षेत्र रेखाएँ कभी-भी एक-दूसरे को पार या प्रतिच्छेद नहीं करतीं।

प्रश्न 1.8: दो बिन्दु आवेश q_A = 3 μC तथा q_B = -3 μC निर्वात में एक-दूसरे से 20 cm दूरी पर स्थित हैं। (a) यदि 1.5 x 10^-9 C परिमाण का कोई ऋणात्मक परीक्षण आवेश इसे बिन्दु पर रखा जाए तो यह परीक्षण आवेश कितने बल का अनुभव करेगा (b) दोनों आवेशों को मिलाने वाली रेखा AB के मध्य बिन्दु O पर विद्युत-क्षेत्र कितना है?

उत्तर 1.8: (a) स्थिति को नीचे दिए गए चित्र में दर्शाया गया है। O रेखा AB का मध्य-बिंदु है।

E_oA = E_oB = \( \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \frac{q}{r^2} \)

या E_OA = E_OA = 27 × 10⁵ N C^-1

एक ही दिशा में होने के कारण मध्य बिंदु O पर एक नेट विद्युत क्षेत्र उत्पन्न होता है, जो कि है
E = E_OA + E_OB
= 2E_OB
= 2 × 27 × 10⁵
या E = 5.4 × 10⁶ N C^-1 OB के साथ निर्देशित

(b) परीक्षण आवेश को जब बिंदु O पर रखा जाता है तो उस पर एक बल कार्य करता है, जिसमें q₀
= -1.5 × 10^-9 C
F = q₀E
= 1.5 × 10^-9 × 5.4 × 10⁶
या F = 8.1 × 10^-3 N
OA के अनुदिश, जो E के विपरीत है।

प्रश्न 1.9: किसी निकाय में दो आवेश q_A = 2.5 × 10^-7 C तथा q_B = – 2.5 × 10^-7 C क्रमशः दो बिन्दुओं A : (0, 0, -15 cm) तथा B : (0, 0, +15 cm) पर अवस्थित हैं। निकाय का कुल आवेश तथा वैद्यत-द्विध्रुव आघूर्ण क्या है?

उत्तर 1.9: दोनों आवेशों को एक निर्देशांक संदर्भ फ्रेम में स्थित किया जा सकता है जैसा कि दिए गए चित्र में दिखाया गया है।

A पर आवेश की मात्रा, q_A = 2.5 × 10⁻⁷C

B पर आवेश की मात्रा, q_B = −2.5 × 10⁻⁷ C

सिस्टम का कुल आवेश,

q = q_A + q_B

= 2.5 × 10⁷ C − 2.5 × 10⁻⁷ C

= 0

बिंदु A और B पर दो आवेशों के बीच की दूरी,

d = 15 + 15 = 30 cm = 0.3 m

प्रणाली का विद्युत द्विध्रुव आघूर्ण निम्न प्रकार दिया गया है,

p = q_A × d = q_B × d

= 2.5 × 10⁻⁷ × 0.3

= 7.5 × 10⁻⁸ C m सकारात्मक z-अक्ष के साथ

इसलिए, प्रणाली का विद्युत द्विध्रुव आघूर्ण सकारात्मक z−अक्ष के अनुदिश 7.5 × 10⁻⁸ C m है।

प्रश्न 1.10: 4 × 10^-9 C m द्विध्रुव आघूर्ण को कोई विद्युत-द्विध्रुव 5 × 10⁴ NC-¹ परिमाण के किसी एकसमान विद्युत-क्षेत्र की दिशा से 30° पर संरेखित है। द्विध्रुव पर कार्यरत बल आघूर्ण का परिमाण परिकलित कीजिए।

उत्तर 1.10: विद्युत द्विध्रुव आघूर्ण, p = 4 × 10⁻⁹ C m

एकसमान विद्युत क्षेत्र के साथ p द्वारा बनाया गया कोण, θ = 30°

विद्युत क्षेत्र, E = 5 × 10⁴ N C⁻¹

द्विध्रुव पर कार्यरत टॉर्क निम्न संबंध द्वारा दिया जाता है, τ = pE sin θ

\(= 4 \times 10^{-9} \times 5 \times 10^{4} \times \sin 30 \)

\(= 20 \times 10 ^{-5} \times \frac {1}{2} \)

\(= 10^{-4}\;Nm \)

इसलिए, द्विध्रुव पर कार्यरत टॉर्क का परिमाण 10⁻⁴ N m है।

प्रश्न 1.11:ऊन से रगड़े जाने पर कोई पॉलीथीन का टुकड़ा 3 × 10^-7 C के ऋणावेश से आवेशित पाया गया। (a) क्या ऊन से पॉलीथीन में संहति का स्थानान्तरण भी होता है? (b) स्थानान्तरित (किस पदार्थ से किस पदार्थ में) इलेक्ट्रॉनों की संख्या आकलित कीजिए।

उत्तर 1.11: (a) जब पॉलिथीन को ऊन पर रगड़ा जाता है, तो ऊन से पॉलिथीन में बहुत सारे इलेक्ट्रॉन स्थानांतरित हो जाते हैं। इसलिए, ऊन धनात्मक रूप से आवेशित हो जाता है और पॉलिथीन ऋणात्मक रूप से आवेशित हो जाता है।

पॉलिथीन के टुकड़े पर आवेश की मात्रा, q = −3 × 10⁻⁷ C

एक इलेक्ट्रॉन पर आवेश की मात्रा, e = −1.6 × 10⁻¹⁹ C

ऊन से पॉलीथीन में स्थानांतरित इलेक्ट्रॉनों की संख्या = n

n की गणना निम्न संबंध का उपयोग करके की जा सकती है, q = ne

\(\Rightarrow n = \frac{q}{e}\)

\(= \frac{-3 \times 10 ^{-7}}{-1.6 \times 10 ^{-19}}\)

\(= 1.87 \times 10 ^{12}\).

इसलिए, ऊन से पॉलीथीन में स्थानांतरित इलेक्ट्रॉनों की संख्या 1.87 × 10¹² है।

(b) हाँ। द्रव्यमान का स्थानांतरण हो रहा है। ऐसा इसलिए है क्योंकि इलेक्ट्रॉन में द्रव्यमान होता है,

m_e = 9.1 × 10⁻³ kg

ऊन से पॉलिथीन में स्थानांतरित कुल द्रव्यमान,

m = m_e × n

= 9.1 × 10⁻³¹ × 1.85 × 10¹²

= 1.706 × 10⁻¹⁸ kg

इसलिए, ऊन से पॉलीथीन में द्रव्यमान की नगण्य मात्रा स्थानांतरित होती है।

प्रश्न 1.12:दो विद्युतरोधी आवेशित ताँबे के गोलों A तथा B के केन्द्रों के बीच की दूरी 50 cm है। यदि दोनों गोलों पर पृथक्-पृथक् आवेश 6.5 × 10^-7 C हैं तो इनमें पारस्परिक स्थिर विद्युत प्रतिकर्षण बल कितना है? गोलों के बीच की दूरी की तुलना में गोलों A तथा B की त्रिज्याएँ नगण्य हैं। (b) यदि प्रत्येक गोले पर आवेश की मात्रा दो गुनी तथा गोलों के बीच की दूरी आधी कर दी जाए तो प्रत्येक गोले पर कितना बल लगेगा?

उत्तर 1.12: गोले A पर आवेश, q_A = गोले B पर आवेश, q_B = 6.5 × 10⁻⁷ C

गोलों के बीच की दूरी, r = 50 सेमी = 0.5 मीटर

दो गोलों के बीच प्रतिकर्षण बल, \(F = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \cdot \frac{q_A q_B}{r^2}\)

∈₀ = मुक्त आकाश या निर्वात की विद्युतहीलता अथवा परावैद्युतांक

\(\frac{1}{ 4 \pi \epsilon _{0}} = 9 \times 10^{9} \; Nm^{2} C^{-2}\)

\(F = \frac{9 \times 10 ^{9} \times \left ( 6.5 \times 10^{-7} \right )^{2}}{\left ( 0.5 \right )^{2}}\ \)

\( = 1.52 \times 10^{-2}\; N\)

इसलिए, दोनों गोलों के बीच बल 1.52 × 10⁻² N है।

(b) आवेश को दोगुना करने के बाद, गोले A पर आवेश, q_A = गोले B पर आवेश, q_B = 2 × 6.5 × 10⁻⁷ C = 1.3 × 10⁻⁶ C

गोलों के बीच की दूरी आधी हो जाती है।

\(∴ r = \frac {0.5}{2} = 0.25 \; m\)

दो गोलों के बीच प्रतिकर्षण बल,

\( F = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \cdot \frac{q_A q_B}{r^2} = \frac{9 \times 10^9 \times 1.3 \times 10^{-6} \times 1.3 \times 10^{-6}}{(0.25)^2} \)

\( = 16 \times 1.52 \times 10^{-2} \)

\( = 0.243 \; N \)

इसलिए, दोनों गोलों के बीच बल 0.243 N है।

प्रश्न 1.13: निचे दिए गए चित्र में किसी एकसमान स्थिर विद्युत-क्षेत्र में तीन आवेशित कणों के पथचिह्न (tracks) दर्शाए गए हैं। तीनों आवेशों के चिह्न लिखिए। इनमें से किस कण का आवेश-संहति अनुपात (q/m) में अधिकतम है?

उत्तर 1.13: विपरीत आवेश एक दूसरे को आकर्षित करते हैं और समान आवेश एक दूसरे को प्रतिकर्षित करते हैं। यह देखा जा सकता है कि कण 1 और 2 दोनों धनात्मक आवेश वाली प्लेट की ओर बढ़ते हैं और ऋणात्मक आवेश वाली प्लेट से दूर हटते हैं। इसलिए, ये दोनों कण ऋणात्मक रूप से आवेशित हैं। यह भी देखा जा सकता है कि कण 3 ऋणात्मक रूप से आवेशित प्लेट की ओर बढ़ता है और धनात्मक रूप से आवेशित प्लेट से दूर हटता है। इसलिए, कण 3 धनात्मक रूप से आवेशित है।

आवेश से द्रव्यमान अनुपात (ईएमएफ) किसी दिए गए वेग के लिए विस्थापन या विक्षेपण की मात्रा के सीधे आनुपातिक होता है। चूँकि कण 3 का विक्षेपण अधिकतम है, इसलिए इसका आवेश से द्रव्यमान अनुपात सबसे अधिक है।

प्रश्न 1.14:एकसमान विद्युत-क्षेत्र E = 3 × 10³ î N/C पर विचार कीजिए। (a) इस क्षेत्र का 10 cm भुजा के वर्ग के उस पाश्र्व से जिसका तल yz तल के समान्तर है, गुजरने वाला फ्लक्स क्या है? (b) इसी वर्ग से गुजरने वाला फ्लक्स कितना है यदि इसके तल का अभिलम्ब x-अक्ष से 60° का कोण बनाता है?

उत्तर 1.14: यहाँ पर हमें एकसमान विद्युत-क्षेत्र \( E = 3 \times 10^3 \, \hat{i} \, \text{N/C} \) दिया गया है और हमें वर्गाकार तल से गुजरने वाले फ्लक्स को निकालना है।

(a) पहला भाग:

सवाल में दिए गए अनुसार, वर्ग का तल \( yz \)-तल के समानांतर है। इसका अर्थ है कि वर्ग का तल \( xy \)-तल से 90 डिग्री पर होगा और उसका क्षेत्रफल वेक्टर \( x \)-अक्ष (यानी \( \hat{i} )\) के साथ होगा।

चुकी विद्युत-क्षेत्र \( x \)-अक्ष के समानांतर है, और वर्ग का तल \( yz \)-तल में है, तो विद्युत-क्षेत्र और क्षेत्रफल वेक्टर एक ही दिशा में होंगे।

अब फ्लक्स का सूत्र होता है:
\(\Phi = E \cdot A \cdot \cos \theta\)

जहाँ,

• \( E = 3 \times 10^3 \, \text{N/C} \),
• ( A ) वर्ग का क्षेत्रफल है, और वर्ग की भुजा \( 10 \, \text{cm} = 0.1 \, \text{m} \) है, तो \(A = 0.1 \times 0.1 = 0.01 \, \text{m}^2 \),
• \( \theta \) विद्युत-क्षेत्र और तल के अभिलम्ब (क्षेत्रफल वेक्टर) के बीच का कोण है। चूंकि \( yz \)-तल के समानांतर है और विद्युत-क्षेत्र \( x \)-अक्ष के साथ है, इसलिए \( \theta = 0^\circ \) होगा।

इसलिए:
\(\Phi = 3 \times 10^3 \times 0.01 \times \cos 0^\circ\)
\(\Phi = 3 \times 10^3 \times 0.01 \times 1 = 30 \, \text{N} \cdot \text{m}^2/\text{C}\)

तो, फ्लक्स \( 30 \, \text{N} \cdot \text{m}^2/\text{C} \) होगा।

(b) दूसरा भाग:

अब वर्ग का तल \( x \)-अक्ष से \( 60^\circ \) का कोण बना रहा है। इस स्थिति में विद्युत-क्षेत्र और क्षेत्रफल वेक्टर के बीच का कोण \( 60^\circ \) होगा।

फ्लक्स का सूत्र फिर से वही रहेगा:
\(\Phi = E \cdot A \cdot \cos \theta\)
यहाँ \( \theta = 60^\circ \) है, इसलिए:
\(\Phi = 3 \times 10^3 \times 0.01 \times \cos 60^\circ\)
चूंकि \( \cos 60^\circ = \frac{1}{2} \), तो:
\(\Phi = 3 \times 10^3 \times 0.01 \times \frac{1}{2}\)
\(\Phi = 15 \, \text{N} \cdot \text{m}^2/\text{C}\)

तो, इस स्थिति में फ्लक्स \( 15 \, \text{N} \cdot \text{m}^2/\text{C} \) होगा।

उत्तर संक्षेप में:
(a) फ्लक्स \( 30 \, \text{N} \cdot \text{m}^2/\text{C} \) होगा।
(b) फ्लक्स \( 15 \, \text{N} \cdot \text{m}^2/\text{C} \) होगा।

प्रश्न 1.15: पिछला प्रश्न में दिए गए एकसमान विद्युत-क्षेत्र का 20 cm भुजा के किसी घन से (जो इस प्रकार अभिविन्यासित है कि उसके फलक निर्देशांक तलों के समान्तर हैं) कितना नेट फ्लक्स गुजरेगा?

उत्तर 1.15: घन के सभी फलक निर्देशांक अक्षों के समानांतर होते हैं। इसलिए, घन में प्रवेश करने वाली क्षेत्र रेखाओं की संख्या घन से बाहर निकलने वाली क्षेत्र रेखाओं की संख्या के बराबर होती है। परिणामस्वरूप, घन के माध्यम से शुद्ध प्रवाह शून्य होता है।

प्रश्न 1.16: किसी काले बॉक्स के पृष्ठ पर विद्युत-क्षेत्र की सावधानीपूर्वक ली गई माप यह संकेत देती है। कि बॉक्स के पृष्ठ से गुजरने वाला नेट फ्लक्स 8.0 x 10³ Nm²/C है। (a) बॉक्स के भीतर नेट आवेश कितना है? (b) यदि बॉक्स के पृष्ठ से नेट बहिर्मुखी फ्लक्स शून्य है तो क्या आप यह निष्कर्ष निकालेंगे कि बॉक्स के भीतर कोई आवेश नहीं है? क्यों, अथवा क्यों नहीं?

उत्तर 1.16: इस प्रश्न का उत्तर देने के लिए हमें गॉस के नियम का उपयोग करना होगा। गॉस के नियम के अनुसार, किसी बंद सतह के भीतर का कुल आवेश उस सतह से होकर गुजरने वाले नेट विद्युत प्रवाह (फ्लक्स) के साथ संबंधित होता है। गॉस के नियम का सूत्र है:

\(\Phi_E = \frac{Q_{\text{in}}}{\varepsilon_0}\)

जहां:

• \(\Phi_E\) = विद्युत प्रवाह (फ्लक्स) = \(8.0 \times 10^3 \, \text{Nm}^2/\text{C}\)
• \(Q_{\text{in}}\) = बॉक्स के भीतर का कुल आवेश (कुल चार्ज)
• \(\varepsilon_0\) = निर्वात की विद्युत गुणांक (जिसका मान लगभग \(8.85 \times 10^{-12} \, \text{C}^2/\text{(N m}^2\text{)}\) है)

(a) बॉक्स के भीतर नेट आवेश कितना है?

गॉस के नियम का उपयोग करके हम \(Q_{\text{in}}\) निकाल सकते हैं:

\(Q_{\text{in}} = \Phi_E \cdot \varepsilon_0\)

अब मानों को रखकर कैलकुलेट करते हैं:

\(Q_{\text{in}} = (8.0 \times 10^3) \cdot (8.85 \times 10^{-12})\)

\(Q_{\text{in}} \approx 7.08 \times 10^{-8} \, \text{C}\)

= 0.07μC

इस प्रकार, बॉक्स के अंदर कुल चार्ज 0.07 μC हैं।

(b) नहीं, किसी बॉक्स से बाहर निकलने वाला शुद्ध प्रवाह बॉक्स में निहित शुद्ध आवेश पर निर्भर करता है। यदि शुद्ध प्रवाह शून्य है, तो यह अनुमान लगाया जा सकता है कि बॉक्स के अंदर शुद्ध आवेश शून्य है। बॉक्स में धनात्मक और ऋणात्मक आवेश बराबर मात्रा में हो सकते हैं।

प्रश्न 1.17: निचे दिए गए चित्र में दर्शाए अनुसार 10 cm भुजा के किसी वर्ग के केन्द्र से ठीक 5 cm ऊँचाई पर कोई +10 µC आवेश रखा है। इस वर्ग से गुजरने वाले विद्युत फ्लक्स का। परिमाण क्या है? (संकेत : वर्ग को 10 cm किनारे के किसी घन का एक फलक मानिए)

उत्तर 1.17: उदाहरण के आधार पर, हम यह मान सकते हैं कि दिया गया वर्ग 10 सेमी किनारे की लंबाई वाले घन की एक भुजा को दर्शाता है।

घन +10 µC आवेश को घेरे हुए है क्योंकि यह वर्ग के केंद्र से 5 सेमी ऊपर स्थित है। गॉस के प्रमेय के अनुसार, घन-लिंक्ड विद्युत प्रवाह है \(\phi_{\text{Total}} = \frac{q}{\epsilon_0}\)

अतः घन के एक फलक, अर्थात् वर्ग के माध्यम से विद्युत फ्लक्स है
\(\phi = \frac{\phi_{\text{Total}}}{6} = \frac{1}{6} \cdot \frac{q}{\epsilon_{0}}\)

यहाँ,ε₀ = = मुक्त स्थान की विद्युतशीलता

= 8.854 x 10^–12 N^–1 C² m^–2

\(q = 10 \mu C = 10 \times 10 ^{ – 6 } C\)

इसलिए, \(\phi = \frac{ 1 }{ 6 } . \frac{ 10 \times 10 ^{ – 6 }}{ 8.854 \times 10 ^{ – 12 }}\)

= 1.88 x 10⁵ N m² C^–1

इसलिए, वर्ग के माध्यम से विद्युत प्रवाह 1.88 × 10⁵ N m² C^–1 हैं।

प्रश्न 1.18: 2.0 µC का कोई बिन्दु आवेश किसी किनारे पर 9.0 cm किनारे वाले किसी घनीय गाउसीय पृष्ठ के केन्द्र पर स्थित है। पृष्ठ से गुजरने वाला नेट फ्लक्स क्या है?

उत्तर 1.18: हम गॉस के नियम का उपयोग करके किसी घनीय गाउसीय पृष्ठ (cubic Gaussian surface) से होकर गुजरने वाले विद्युत फ्लक्स की गणना करेंगे। गॉस के नियम के अनुसार, किसी बंद सतह के माध्यम से गुजरने वाला कुल विद्युत फ्लक्स \( \Phi_E \) निम्नलिखित है:

\(\Phi_E = \frac{Q_{\text{in}}}{\varepsilon_0}\)

जहाँ:

• \( \Phi_E \) = विद्युत फ्लक्स
• \( Q_{\text{in}} \) = बंद सतह के भीतर का कुल आवेश
• \( \varepsilon_0 \) = निर्वात की विद्युत गुणांक \( \approx 8.85 \times 10^{-12} \, \text{C}^2/\text{(N m}^2\text{)} \)

दिए गए डेटा:

• बिन्दु आवेश \( Q = 2.0 \, \mu C = 2.0 \times 10^{-6} \, C \)
• घनीय पृष्ठ का किनारा \( 9.0 \, cm = 0.09 \, m \)

चरण 1: कुल आवेश की गणना

चूँकि हम जानते हैं कि घनीय गाउसीय पृष्ठ के केंद्र पर आवेश स्थित है, और यह पृष्ठ पूरी तरह से आवेश के अंदर है, इसलिए:

\(Q_{\text{in}} = 2.0 \times 10^{-6} \, C\)

चरण 2: फ्लक्स की गणना

अब, हम \( \Phi_E \) की गणना कर सकते हैं:

\(\Phi_E = \frac{Q_{\text{in}}}{\varepsilon_0} = \frac{2.0 \times 10^{-6}}{8.85 \times 10^{-12}}\)

चरण 3: कैलकुलेट करें

\(\Phi_E \approx \frac{2.0 \times 10^{-6}}{8.85 \times 10^{-12}} \)

\(\approx 2.26 \times 10^5 \, N m^2/C^{-1}\)

इस प्रकार, घनीय गाउसीय पृष्ठ से होकर गुजरने वाला नेट फ्लक्स \( \Phi_E \approx 2.26 \times 10^5 \, N m^2/C^{-1} \) है।

प्रश्न 1.19: किसी बिन्द आवेश के कारण, उस बिन्दु को केन्द्र मानकर खींचे गए 10 cm त्रिज्या के गोलीय गाउसीय पृष्ठ पर विद्युत फ्लक्स – 1.0 x 10³ Nm²/C (a) यदि गाउसीय पृष्ठ की त्रिज्या दो गुनी कर दी जाए तो पृष्ठ से कितना फ्लक्स गुजरेगा? (b) बिन्दु आवेश का मान क्या है?

उत्तर 1.19: (a) बिन्दु आवेश के चारों ओर खींचे गए गोलीय गाउसीय पृष्ठ से गुजरने वाला वैद्युत फ्लक्स उसकी त्रिज्या पर निर्भर नहीं करता, अत: त्रिज्या दो गुनी करने पर भी उससे गुजरने वाला वैद्युत फ्लक्स -1.0 x 10⁸ न्यूटन-मी²/कूलॉम ही रहेगा।

(b) चूँकि हमें फ्लक्स का मान दिया गया है, हम बिन्दु आवेश ( Q ) का मान निकाल सकते हैं:

\(\Phi_E = \frac{Q}{\varepsilon_0}\)

यहाँ, \( \varepsilon_0 \approx 8.85 \times 10^{-12} \, \text{C}^2/\text{N m}^2 \) है। अब हम इसे पुनर्गणित करते हैं:

\(Q = \Phi_E \cdot \varepsilon_0\)

दी गई मानों का उपयोग करते हुए:

\(Q = (1.0 \times 10^3) \cdot (8.85 \times 10^{-12}) \)

\(\approx 8.85 \times 10^{-9} \, \text{C}\)

इसलिए, बिन्दु आवेश का मान लगभग \( 8.85 \, \text{nC} \) है।

प्रश्न 1.20: 10 cm त्रिज्या के चालक गोले पर अज्ञात परिमाण का आवेश है। यदि गोले के केन्द्र से 20 cm दूरी पर विद्युत-क्षेत्र 1.5 x 10³ N/C त्रिज्यतः अन्तर्मुखी (radially inward) है तो गोले पर नेट आवेश कितना है?

उत्तर 1.20: हमें एक चालक गोले पर मौजूद आवेश का मान निकालना है, जब गोले के केंद्र से 20 cm की दूरी पर विद्युत क्षेत्र (E) की गणना की गई है। यहाँ दिए गए मान हैं:

• गोले की त्रिज्या \(r = 10 \, \text{cm} = 0.1 \, \text{m}\)
• गोले के केंद्र से दूरी \(R = 20 \, \text{cm} = 0.2 \, \text{m}\)
• विद्युत क्षेत्र \(E = 1.5 \times 10^3 \, \text{N/C}\) (अन्तर्मुखी)

गौस्स के नियम का उपयोग करते हुए, हम विद्युत क्षेत्र और आवेश के बीच संबंध का उपयोग करेंगे:

\(E = \frac{k \cdot |Q|}{R^2}\)

जहाँ:

• (E) विद्युत क्षेत्र है,
• (k) कूलम्ब्स का स्थिरांक है \((k \approx 8.99 \times 10^9 \, \text{N m}^2/\text{C}^2)\),
• (Q) गोले पर मौजूद आवेश है,
• (R) गोले के केंद्र से दूरी है।

1. आवेश का मान निकालना

हम (Q) को इस समीकरण से निकाल सकते हैं:

\(|Q| = \frac{E \cdot R^2}{k}\)

2. मान प्रतिस्थापित करना

अब हम दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करते हैं:

\(|Q| = \frac{(1.5 \times 10^3) \cdot (0.2)^2}{8.99 \times 10^9}\)

3. गणना करना

\(|Q| = \frac{(1.5 \times 10^3) \cdot (0.04)}{8.99 \times 10^9}\)

\(|Q| = \frac{60}{8.99 \times 10^9}\)

\(|Q| \approx 6.67 \times 10^{-9} \, \text{C}\)

इससे पता चलता है कि गोले पर आवेश का मान लगभग \(6.67 \, \text{nC}\) है।

गोले पर नेट आवेश लगभग \(6.67 \, \text{nC}\) है। चूंकि विद्युत क्षेत्र अन्तर्मुखी है, इसका अर्थ है कि आवेश नकारात्मक है। अतः गोले पर आवेश \(Q \approx -6.67 \, \text{nC}\) होगा।

प्रश्न 1.21: 2.4 m व्यास के एकसमान आवेशित चालक गोले का पृष्ठीय आवेश घनत्व 80.0 µC/m² है। (a) गोले पर आवेश ज्ञात कीजिए। (b) गोले के पृष्ठ से निर्गत कुल विद्युत फ्लक्स क्या है?

उत्तर 1.21: (a) पृष्ठीय आवेश घनत्व (σ) और सतह क्षेत्र (A) का उपयोग करके हम कुल आवेश (Q) ज्ञात कर सकते हैं।

1.सतह क्षेत्र का सूत्र:
\(A = 4 \pi r^2\)
यहाँ, (r) गोले का त्रिज्या है। व्यास (d) 2.4 m है, इसलिए त्रिज्या (r) होगी:
\(r = \frac{d}{2} = \frac{2.4 \, \text{m}}{2} = 1.2 \, \text{m}\)

2.सतह क्षेत्र:
\(A = 4 \pi (1.2)^2 = 4 \pi (1.44) \approx 18.1 \, \text{m}^2\)

3.कुल आवेश (Q):
\(Q = \sigma \times A\)

जहाँ \( \sigma = 80.0 \, \mu\text{C/m}^2 = 80.0 \times 10^{-6} \, \text{C/m}^2\)

\(Q = (80.0 \times 10^{-6}) \times 18.1 \)

\(\approx 1.45 \times 10^{-3} \, \text{C}\)

(b) गोले के पृष्ठ से निर्गत कुल विद्युत फ्लक्स ज्ञात कीजिए।

गौस्स का नियम का उपयोग करके, हम विद्युत फ्लक्स (Φ) को निम्नलिखित सूत्र द्वारा ज्ञात कर सकते हैं:
\(Φ = \frac{Q}{ε_0}\)

जहाँ \(ε_0\) (वैक्यूम में विद्युत स्थिरांक) का मान \(8.85 \times 10^{-12} \, \text{C}^2/\text{N m}^2\) है।

विद्युत फ्लक्स: \(Φ = \frac{1.45 \times 10^{-3}}{8.85 \times 10^{-12}} \)

\(\approx 1.64 \times 10^8 \, \text{N m}^2/\text{C}^{-1}\)

प्रश्न 1.22: कोई अनन्त रैखिक आवेश 2 cm दूरी पर 9 x 10⁴ NC^-1 विद्युत-क्षेत्र उत्पन्न करता है। रैखिक आवेश घनत्व ज्ञात कीजिए।

उत्तर 1.22: रैखिक आवेश घनत्व λ वाले दूरी d पर अनंत रेखा आवेशों द्वारा उत्पन्न विद्युत क्षेत्र निम्न संबंध द्वारा दिया जाता है,

\(E = \frac{ \lambda }{ 2 \pi \epsilon _{ 0 } d }\)

यहाँ,

d = 2 cm = 0.02 m

E = 9 x 10⁴ N / C

\(\frac{ 1 }{ 4 \pi \epsilon _{ 0 }} = 9 \times 10 ^{ 9 } N m ^{ 2 } C ^{ – 2 }\)

\(\ \lambda = \frac{0.02\times 9\times 10^{4} }{2\times 9\times 10^{9} } \ \lambda = 10 \mu C/m\)

इसलिए, संतत आवेश वितरण is \(10 \mu C/m\) है।

प्रश्न 1.23: दो बड़ी, पतली धातु की प्लेटें एक-दूसरे के समानान्तर एवं निकट हैं। इनके भीतरी फलकों पर, प्लेटों के पृष्ठीय आवेश घनत्वों के चिह्न विपरीत हैं तथा इनका परिमाण 17.0 x 10^-23 C/m है। (a) पहली प्लेट के बाह्य क्षेत्र में, (b) दूसरी प्लेट के बाह्य क्षेत्र में, तथा (c) प्लेटों के बीच में विद्युत-क्षेत्र E का परिमाण परिकलित कीजिए।

उत्तर 1.23: स्थिति को निम्नलिखित चित्र में दर्शाया गया है।

A और B एक दूसरे के करीब दो समानांतर प्लेटें हैं। प्लेट A के बाहरी क्षेत्र को I, प्लेट B के बाहरी क्षेत्र को III और प्लेट A और B के बीच के क्षेत्र को II नाम दिया गया है।

(a) प्लेट A का आवेश घनत्व, σ = 17.0 × 10⁻²² C/m²

(b) प्लेट B का आवेश घनत्व, σ = 17.0 × 10⁻²² C/m²

(c) क्षेत्र I और III में विद्युत क्षेत्र E शून्य है। ऐसा इसलिए है क्योंकि आवेश संबंधित प्लेटों द्वारा संलग्न नहीं है।

क्षेत्र II में विद्युत क्षेत्र E निम्न संबंध द्वारा दिया गया है,

\(E = \frac{\sigma }{ \epsilon _{ 0 }}\)

∈₀ = मुक्त आकाश या निर्वात की विद्युतशीलता = 8.854 × 10⁻¹² N⁻¹ C² m⁻²

\(E = \frac{ 17.0 \times 10 ^{ – 22 }}{ 8.854 \times 10 ^{ – 12 }}\)

= 1.92 x 10^–10 N/C

इसलिए, प्लेटों के बीच विद्युत क्षेत्र 1.92 x 10^–10 N/C है।