स्थिरवैधुत विभव तथा धारिता प्रश्न उत्तर Ncert Solution for Class 12 Physics Chapter 2 in Hindi

Class 12 Physics Chapter 2 स्थिरवैधुत विभव तथा धारिता ncert solutions: स्थिरवैधुत विभव तथा धारिता प्रश्न उत्तर

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प्रश्न 2.1: 5 × 10^-8 C तथा -3 × 10^-8 C के दो आवेश 16 cm दूरी पर स्थित हैं। दोनों आवेशों को मिलाने वाली रेखा के किस बिंदु पर विद्युत विभव शून्य होगा? अनंत पर विभव शून्य लीजिए।

उत्तर 2.1: दिया गया है, दो आवेश हैं,

q₁ = 5 x 10^-8 C

q₂ = -3 x 10^-8 C

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• दोनों आवेश एक दूसरे से d = 16 cm = 0.16 m दूरी पर हैं।
• आइए आवेशों q₁ और q₂ को मिलाने वाली रेखा पर एक बिंदु “P” पर विचार करें ।
• माना कि q₁ से विचारित बिंदु P की दूरी ‘r’ है
• मान लीजिए कि बिन्दु P पर विद्युत विभव (V) शून्य है।
• बिन्दु P पर विद्युत विभव आवेश q₁ तथा q₂ के कारण विभवों का योग है ।

इसलिए, 

\( V = \frac{q_{1}}{4\pi \epsilon_{0}{r}} + \frac{q_{2}}{4\pi \epsilon_{0}{(d – r)}} \) ……….(1)

यहाँ,

\( \epsilon _{o} \) = मुक्त अंतरिक्ष का खालीपन

समीकरण (1) में V = 0 रखने पर, हम पाते हैं,

0 = \( V = \frac{q_{1}}{4\pi \epsilon_{0}{r}} + \frac{q_{2}}{4\pi \epsilon_{0}{(d – r)}} \)

\( \frac{q_{1}}{4\pi \epsilon_{0}{r}} = – \frac{q_{2}}{4\pi \epsilon_{0}{(d – r)}} \)

\( \frac{q_{1}}{r} = – \frac{q_{2}}{d – r} \)

\( \frac{5 \times 10^{-8}}{r} = – \frac{(- 3 \times 10^{-8})}{0.16 – r} \)

r = 0.1m = 10cm.

अतः धनात्मक आवेश से 10 सेमी की दूरी पर दोनों आवेशों के मध्य विभव शून्य होता है।

मान लीजिए कि ऋणात्मक आवेश से ‘s’ दूरी पर स्थित एक बिंदु P, निकाय के बाहर है, जिसका विभव शून्य है।

अतः उपरोक्त स्थिति के लिए विभव इस प्रकार दिया गया है

\( V = \frac{q_{1}}{4\pi \epsilon_{0}{s}} + \frac{q_{2}}{4\pi \epsilon_{0}{(s – d)}} \) ……….(2)

V = 0 के लिए, समीकरण (2) को इस प्रकार लिखा जा सकता है:

0 = \( \frac{q_{1}}{4\pi \epsilon_{0}{s}} + \frac{q_{2}}{4\pi \epsilon_{0}{(s – d)}} \)

\( \frac{q_{1}}{4\pi \epsilon_{0}{s}} = – \frac{q_{2}}{4\pi \epsilon_{0}{(s – d)}} \)

\( \frac{q_{1}}{s} = – \frac{-q_{2}}{s – d} \)

\( \frac{5 \times 10^{-8}}{s} = – \frac{(- 3 \times 10^{-8})}{s – 0.16} \)

5(s – 0.16) = 3s

0.8  = 2s

S = 0.4m = 40cm.

इसलिए, आवेशों की प्रणाली के बाहर धनात्मक आवेश से 40 सेमी की दूरी पर विभव शून्य होता है।

प्रश्न 2.2: 10 cm भुजा वाले एक सम-षट्भुज के प्रत्येक शीर्ष पर 5 µC का आवेश है। षट्भुज के केंद्र पर विभव परिकलित कीजिए।

उत्तर 2.2: दिया गया चित्र एक नियमित षट्भुज के शीर्षों पर आवेशों की छः बराबर मात्राएँ, q, दर्शाता है।

आवेश, q = 5 µC = 5 × 10⁻⁶ C

षट्भुज की भुजा, l = AB = BC = CD = DE = EF = FA = 10 सेमी

केंद्र O से प्रत्येक शीर्ष की दूरी, d = 10 सेमी

बिंदु O पर विद्युत विभव, V = \( \frac{6 \times q}{4\pi \epsilon _{o}{d}} \)

∈₀ = मुक्त अंतरिक्ष का खालीपन

\(\frac{ 1 }{ 4 \pi \epsilon _{ 0 }} \) = 9 x 10⁹ NC^-2 m²

V = \( \frac{6 × 9 × 10^{9} × 5 × 10^{-6}}{0.1} \) = 2.7 × 10⁶ V.

अतः षट्भुज के केंद्र पर विभव 2.7 × 10⁶ V है।

प्रश्न 2.3: 6 cm की दूरी पर अवस्थित दो बिंदुओं A एवं B पर दो आवेश 2 µC तथा -2 µC रखे है। (a) निकाय के सम विभव पृष्ठ की पहचान कीजिए। (b) इस पृष्ठ के प्रत्येक बिंदु पर विद्युत-क्षेत्र की दिशा क्या है?

उत्तर 2.3: (a) स्थिति को नीचे दिए गए चित्र में दर्शाया गया है।

समविभव सतह एक ऐसा तल है जिस पर कुल विभव हर जगह शून्य होता है। यह तल रेखा AB के अभिलंबवत है। यह तल रेखा AB के मध्य-बिंदु पर स्थित है, क्योंकि आवेशों का परिमाण समान है।

(b) इस सतह पर प्रत्येक बिंदु पर विद्युत क्षेत्र की दिशा AB दिशा में समतल के अभिलंबवत है।

प्रश्न 2.4: 12 cm त्रिज्या वाले एक गोलीय चालक के पृष्ठ पर 1.6 × 10^-7 C का आवेश एकसमान रूप से वितरित है। (a) गोले के अंदर (b) गोले के ठीक बाहर (c) गोले के केंद्र से 18 cm पर अवस्थित, किसी बिंदु पर विद्युत-क्षेत्र क्या होगा?

उत्तर 2.4: (a) गोलाकार चालक की त्रिज्या, r = 12 सेमी = 0.12 मीटर

आवेश चालक पर समान रूप से वितरित है, q = 1.6 × 10⁻⁷ C

गोलाकार चालक के अंदर विद्युत क्षेत्र शून्य होता है। ऐसा इसलिए है, क्योंकि यदि चालक के अंदर कोई क्षेत्र है, तो आवेश उसे बेअसर करने के लिए आगे बढ़ेंगे।

(b) चालक के ठीक बाहर विद्युत क्षेत्र E निम्न संबंध द्वारा दिया गया है,

\( E = \frac{ q }{ 4\pi \epsilon _{ 0 } r ^{ 2 }}\)

जहाँ,

∈₀ = मुक्त अंतरिक्ष का खालीपन

\( \frac{ 1 }{ 4\pi \epsilon _{ 0 }}\) = 9 x 10⁹ N m²C^-2

इसलिए,

E = \( \frac{9 \times 10^{-9} \times 1.6 \times 10^{-7}}{(0.12)^{2}} \)

=10⁵ N C^-1.

इसलिए, गोले के ठीक बाहर विद्युत क्षेत्र 10⁵ N C^-1 है।

(c) गोले के केंद्र से 18 मीटर दूर एक बिंदु पर विद्युत क्षेत्र = E₁

केंद्र से बिंदु की दूरी, d = 18 सेमी = 0.18 मीटर

E₁ =\( \frac{ q }{ 4\pi \epsilon _{ 0 } d ^{ 2 }}\)

= \( \frac{9 \times 10^{9} \times 1.6 \times 10^{-7}}{(1.8 \times 10^{-2})^{2}} \)

= 4.4 x 10⁴ NC^-1

इसलिए, गोले के केंद्र से 18 सेमी दूर एक बिंदु पर विद्युत क्षेत्र 4.4 x 10⁴ NC^-1 है।

प्रश्न 2.5: एक समांतर पट्टिका संधारित्र, जिसकी पट्टिकाओं के बीच वायु है, की धारिता 8 pF (1pF = 10^-12 F) है। यदि पट्टिकाओं के बीच की दूरी को आधा कर दिया जाए और इनके बीच के स्थान में 6 परावैद्युतांक का एक पदार्थ भर दिया जाए तो इसकी धारिता क्या होगी?

उत्तर 2.5: संधारित्र समांतर पट्टिकाओं के बीच की धारिता, C = 8 pF

प्रारंभ में, समानांतर पट्टिकाओं के बीच की दूरी d थी और इसे हवा से भर दिया गया था। हवा का परावैद्युत स्थिरांक, k = 1

धारिता, C, सूत्र द्वारा दी जाती है, C = \( \frac{k \epsilon _{o} A}{d} \)

= \( \frac{\epsilon _{o} \times A}{d} \) … eq(1)

जहाँ,

A = प्रत्येक पट्टिका का क्षेत्रफल

∈₀ = मुक्त अंतरिक्ष का खालीपन

यदि पट्टिकाओं के बीच की दूरी आधी कर दी जाए, तो नई दूरी, d₁ = d/2

पट्टिकाओं के बीच भरे पदार्थ का परावैद्युत स्थिरांक, k’ = 6

इसलिए, संधारित्र की धारिता हो जाती है

C₁ = \( \frac{k_{1} \times \epsilon_{o} \times A}{d_{1}} \) = \( \frac{6 \epsilon _{o} \times A}{d/2} \)

= \( \frac{12 \epsilon _{o} A}{d} \) … (2)

समीकरण (i) और (ii) के अनुपात लेते हुए, हम प्राप्त करते हैं

C’ = 2 × 6 C

= 12 C

= 12 × 8

= 96 pF

इसलिए, पट्टिकाओं के बीच की धारिता 96 pF है।

प्रश्न 2.6: 9 pF धारिता वाले तीन संधारित्रों को श्रेणीक्रम में जोड़ा गया है। (a) संयोजन की कुल धारिता क्या है? (b) यदि संयोजन को 120 V के संभरण (सप्लाई) से जोड़ दिया जाए, तो प्रत्येक संधारित्र पर क्या विभवांतर होगा?

उत्तर 2.6: (a) तीनों संधारित्रों में से प्रत्येक की धारिता, C = 9 pF

संधारित्रों के संयोजन की तुल्य धारिता (C’) निम्न संबंध द्वारा दी जाती है,

\( \frac{1}{C_{eq}} = \frac{1}{C} + \frac{1}{C} + \frac{1}{C} = \frac{3}{C} = \frac{3}{9} =\frac{1}{3}\)

\( \frac{1}{C_{eq}} = \frac{1}{3}\)

इसलिए, संयोजन की कुल धारिता 3 pF है

(b) आपूर्ति वोल्टेज, V = 120 V

प्रत्येक संधारित्र में विभवांतर (V’) आपूर्ति वोल्टेज के एक-तिहाई के बराबर होता है।

इसलिए, V₁ = \( \frac{V}{3} \)

= \( \frac{120}{3} \)

= 40V.

इसलिए, प्रत्येक संधारित्र में विभवांतर 40 V है।

प्रश्न 2.7: 2 pF, 3 pF और 4 pF धारिता वाले तीन संधारित्र पार्श्वक्रम में जोड़े गए हैं। (a) संयोजन की कुल धारिता क्या है? (b) यदि संयोजन को 100 V के संभरण से जोड़ दें तो प्रत्येक संधारित्र पर आवेश ज्ञात कीजिए।

उत्तर 2.7: (a) दिए गए संधारित्रों की धारिताएँ हैं

C₁ = 2pF, C₂ = 3pF and C₃ = 4pF.

संधारित्रों के समांतर संयोजन के लिए, समतुल्य संधारित्र C’ बीजीय योग द्वारा दिया जाता है,

C’ = 2 + 3 + 4

C’ = 9 pF

इसलिए, संयोजन की कुल धारिता 9 pF है।

(b) आपूर्ति वोल्टेज, V = 100 V

तीनों संधारित्रों से गुजरने वाला वोल्टेज समान है = V = 100 V

धारिता C तथा विभवांतर V वाले संधारित्र पर आवेश निम्न संबंध द्वारा दिया जाता है,

q = VC …(i)

C = 2 pF के लिए,

आवेश = VC = 100 × 2 = 200 pC

= 2 × 10⁻¹⁰ C

C = 3 pF के लिए,

आवेश = VC = 100 × 3 = 300 pC

= 3 × 10⁻¹⁰ C

C = 4 pF के लिए,

आवेश = VC = 100 × 4 = 400 pC

= 4 × 10⁻¹⁰ C

प्रश्न 2.8: पट्टिकाओं के बीच वायु वाले समांतर पट्टिको संधारित्र की प्रत्येक पट्टिका का क्षेत्रफल 6 × 10⁻³ m² तथा उनके बीच की दूरी 3 mm है। संधारित्र की धारिता को परिकलित कीजिए। यदि इस संधारित्र को 100 V के संभरण से जोड़ दिया जाए तो संधारित्र की प्रत्येक पट्टिका पर कितना आवेश होगा?

उत्तर 2.8: संधारित्र की धारिता और पट्टिकाओं पर आवेश निकालने के लिए, हम संधारित्र के लिए धारिता सूत्र का उपयोग करेंगे:

1. धारिता की गणना

समांतर पट्टिकाओं वाले संधारित्र की धारिता का सूत्र है:

\(C = \frac{\varepsilon_0 \cdot A}{d}\)

जहाँ:

• (C) = धारिता (फैराड में),
• \(\varepsilon_0\) = निर्वात में विद्युत स्थिरांक \(8.854 \times 10^{-12} \, \text{F/m}\),
• (A) = प्रत्येक पट्टिका का क्षेत्रफल \(6 \times 10^{-3} \, \text{m}^2\),
• (d) = पट्टिकाओं के बीच की दूरी \(3 \, \text{mm} = 3 \times 10^{-3} \, \text{m}\)।

धारिता की गणना करते हैं:

\(C = \frac{(8.854 \times 10^{-12}) \times (6 \times 10^{-3})}{3 \times 10^{-3}}\)

\(C = \frac{5.3124 \times 10^{-14}}{3 \times 10^{-3}}\)

\(C = 1.77 \times 10^{-12} \, \text{F}\)

इसे इस प्रकार अनुमानित किया जा सकता है:

\(C \approx 18 \times 10^{-12} \, \text{F} = 18 \, \text{pF}\)

2. पट्टिकाओं पर आवेश की गणना

पट्टिकाओं पर आवेश (Q) निकालने के लिए, हम धारिता और वोल्टेज के संबंध का उपयोग करते हैं:

\(Q = C \cdot V\)

जहाँ:

• \(C = 1.77 \times 10^{-12} \, \text{F}\),
• \(V = 100 \, \text{V}\)।

अब आवेश (Q) निकालते हैं:

\(Q = 18 \times 10^{-12} \times 100 \, \text{C}\)
\(Q = 1.8 \times 10^{-9} \, \text{C}\)

यहाँ \(Q \approx 1.8 \times 10^{-9} \, \text{C}\) है, जो आपके द्वारा दिए गए उत्तर से मेल खाता है।

प्रश्न 2.9: पिछला प्रश्न में दिए गए संधारित्र की पट्टिकाओं के बीच यदि 3 mm मोटी अभ्रक की एक शीट (पत्तर) (परावैद्युतांक = 6) रख दी जाती है तो स्पष्ट कीजिए कि क्या होगा जब (a) विभव (वोल्टेज) संभरण जुड़ा ही रहेगा। (b) संभरण को हटा लिया जाएगा?

उत्तर 2.9: (a) अभ्रक शीट का परावैद्युत स्थिरांक, k = 6
प्रारंभिक धारिता, C = 1.771 × 10⁻¹¹ F
नई धारिता, C’ = kC
= 6 × 1.771 × 10^-11
= 106 pF
आपूर्ति वोल्टेज, V = 100 V
नई धारिता, q’ = C’V
= 6 × 1.771 × 10^-9
= 1.06 × 10^-8 C
प्लेटों के पार विभव 100 V रहता है।

(b) परावैद्युत स्थिरांक, k = 6
प्रारंभिक धारिता, C = 1.771 × 10⁻¹¹ F
नई धारिता, C’ = kC
= 6 × 1.771 × 10^-11
= 106 pF
यदि आपूर्ति वोल्टेज हटा दिया जाए तो पट्टिकाओं में आवेश की मात्रा पर कोई प्रभाव नहीं पड़ेगा।
आवेश = 1.771 × 10⁻⁹ C
पट्टिकाओं के पार विभव कहाँ से आता है,

V₁ = q/C₁ = \(\frac{1.771 \times 10^{-9}}{106 \times 10^{-12}}\)

= 16.7 V

प्रश्न 2.10: 12pF का एक संधारित्र 50 V की बैटरी से जुड़ा है। संधारित्र में कितनी स्थिर विद्युत ऊर्जा संचित होगी?

उत्तर 2.10: संधारित्र की धारिता, C = 12 pF = 12 × 10⁻¹² F

विभवांतर, V = 50 V

संधारित्र में संग्रहित स्थिर विद्युत ऊर्जा निम्न संबंध द्वारा दी जाती है,

\(E = \frac{1}{2} C V^2 \)

\( E = \frac{1}{2} \times (12 \times 10^{-12} \text{ F}) \times (50 \text{ V})^2 \)

\( E = \frac{1}{2} \times 12 \times 10^{-12} \text{ F} \times 2500 \text{ V}^2 \)

\( E = \frac{1}{2} \times 30 \times 10^{-9} \text{ J} \)

E = 1.5 x 10^-8 J

इसलिए, संधारित्र में संग्रहित स्थिर विद्युत ऊर्जा 1.5 × 10^-8 जूल है।

प्रश्न 2.11: 200 V संभरण (सप्लाई) से एक 600 pF से संधारित्र को आवेशित किया जाता है। फिर इसको संभरण से वियोजित कर देते हैं तथा एक अन्य 600 pF वाले अनावेशित संधारित्र से जोड़ देते हैं। इस प्रक्रिया में कितनी ऊर्जा का ह्रास होता है?

उत्तर 2.11:

दिया गया है:

• प्रारंभिक संधारित्र (Capacitor) का धारिता \( C_1 = 600 \, \text{pF} = 600 \times 10^{-12} \, \text{F} \)
• प्रारंभिक वोल्टेज \( V = 200 \, \text{V} \)
• दूसरा संधारित्र भी \( C_2 = 600 \, \text{pF} \) का है, और यह अनावेशित है।

1. प्रारंभिक अवस्था में ऊर्जा:

पहले संधारित्र में प्रारंभिक ऊर्जा को U₁ द्वारा व्यक्त किया जाता है, जो निम्नलिखित सूत्र से ज्ञात की जाती है:

\(U_1 = \frac{1}{2} C_1 V^2\)

\(U_1 = \frac{1}{2} \times 600 \times 10^{-12} \times (200)^2\)

\(U_1 = \frac{1}{2} \times 600 \times 10^{-12} \times 40000\)

\(U_1 = 1.2 \times 10^{-5} \, \text{J}\)

2. दोनों संधारित्रों को जोड़ने के बाद की स्थिति:

अब दोनों संधारित्र समानांतर में जुड़ गए हैं, इसलिए उनके बीच कुल आवेश ( Q ) संरक्षित रहेगा।

प्रारंभिक आवेश ( Q₁ ) है:

\(Q_1 = C_1 V \)

\(= 600 \times 10^{-12} \times 200\)

\(= 1.2 \times 10^{-7} \, \text{C}\)

जब दोनों संधारित्र जुड़े होते हैं, तो कुल धारिता \( C_{\text{eq}} = C_1 + C_2 \)\(= 600 \, \text{pF} + 600 \, \text{pF}\)\( = 1200 \, \text{pF} \).

इसलिए नया वोल्टेज \( V_f \) दोनों संधारित्रों पर समान होगा:

\(V_f = \frac{Q_1}{C_{\text{eq}}} \)

\(= \frac{1.2 \times 10^{-7}}{1200 \times 10^{-12}}\)

\(= 100 \, \text{V}\)

3. अंतिम अवस्था में ऊर्जा:

अंतिम ऊर्जा ( U₂ ) दोनों संधारित्रों में होगी:

\(U_2 = \frac{1}{2} C_{\text{eq}} V_f^2 \)

\(= \frac{1}{2} \times 1200 \times 10^{-12} \times (100)^2\)

\(U_2 = \frac{1}{2} \times 1200 \times 10^{-12} \times 10000\)

\(U_2 = 6 \times 10^{-6} \, \text{J}\)

4. ऊर्जा का ह्रास:

ऊर्जा का ह्रास \( \Delta U \) प्रारंभिक और अंतिम ऊर्जा के बीच का अंतर होगा:

\(\Delta U = U_1 – U_2 \)

\(= 1.2 \times 10^{-5} \, \text{J} – 6 \times 10^{-6} \, \text{J}\)

\(\Delta U = 6 \times 10^{-6} \, \text{J}\)

इस प्रकार, ऊर्जा का ह्रास \( 6 \times 10^{-6} \, \text{J} \) है।