गतिमान आवेश और चुंबकत्व प्रश्न उत्तर Ncert Solution for Class 12 Physics Chapter 4 in Hindi

Class 12 Physics Chapter 4 गतिमान आवेश और चुंबकत्व
ncert solutions: गतिमान आवेश और चुंबकत्व प्रश्न उत्तर

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प्रश्न 4.1: तार की एक वृत्ताकार कुंडली में 100 फेरे हैं, प्रत्येक की त्रिज्या 8.0 cm है और इनमें 0.40 A विद्युत धारा प्रवाहित हो रही है। कुंडली के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र का परिमाण क्या है?

उत्तर 4.1: कुंडली के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र का परिमाण निकालने के लिए, हम निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करते हैं:

\(B = \frac{\mu_0 \cdot n \cdot I}{2 \cdot R}\)

जहाँ:

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• (B) = चुंबकीय क्षेत्र का परिमाण (T में)
• \(\mu_0\) = मुक्त स्थान का चुंबकीय संवाहकता (लगभग \(4\pi \times 10^{-7} \, \text{T m/A})\)
• (n) = कुंडली में फेरे की संख्या प्रति मीटर (यहाँ \(n = \frac{N}{L}\), जहाँ (N) = फेरे की कुल संख्या और (L) = कुंडली की लंबाई)
• (I) = प्रवाहित विद्युत धारा (A में)
• (R) = कुंडली की त्रिज्या (m में)

जानकारी

• फेरे की संख्या, \(N = 100\)
• त्रिज्या, \(R = 8.0 \, \text{cm} = 0.08 \, \text{m}\)
• विद्युत धारा, \(I = 0.40 \, \text{A}\)

कुंडली की लंबाई निकालना

कुंडली की लंबाई (L) को परिकलित करने के लिए:
\(L = 2\pi R = 2\pi \times 0.08 \, \text{m}\)

फेरे की संख्या प्रति मीटर ((n)) निकालना

\(n = \frac{N}{L} = \frac{100}{L}\)

अब हम सभी मानों को (B) के सूत्र में रखते हैं:

1. पहले (L) की गणना करें:
   \(L = 2\pi \times 0.08 \approx 0.50265 \, \text{m}\)
2. फिर (n) की गणना करें:
   \(n = \frac{100}{0.50265} \approx 198.88 \, \text{turns/m}\)
3. अब (B) की गणना करें:
   \(B = \frac{(4\pi \times 10^{-7}) \cdot (198.88) \cdot (0.40)}{2 \cdot 0.08}\)
   \(B \approx \frac{(4\pi \times 10^{-7}) \cdot (198.88) \cdot (0.40)}{0.16}\)
   \(B \approx \frac{(4\pi \times 10^{-7}) \cdot (79.552)}{0.16}\)
   \(B \approx 3.14 \times 10^{-4} \, \text{T}\)

इस प्रकार, कुंडली के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र का परिमाण \(B = 3.14 \times 10^{-4} \, \text{T}\) या 0.314 mT है।

प्रश्न 4.2: एक लंबे, सीधे तार में 35 A विद्युत धारा प्रवाहित हो रही है। तार से 20 cm दूरी पर स्थित किसी बिंदु पर चुंबकीय क्षेत्र का परिमाण क्या है?

उत्तर 4.2: तार में धारा, I = 35 A

तार से बिंदु की दूरी, r = 20 cm = 0.2 m

इस बिंदु पर चुंबकीय क्षेत्र का परिमाण इस प्रकार दिया गया है।

\(|\bar B| = \frac{\mu_{0}\; 2I}{4\pi\; r}\)

जहाँ,

μ₀ = मुक्त स्थान की पारगम्यता

= 4π × 10^-7 T m A^-1

समीकरण में मान प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है

\(|\bar B| = \frac{4\pi \times 10^{-7}}{4\pi }\times \frac{2\times 35}{0.2}\)

= \(3.5 \times 10^{-5}\; T\)

अतः, तार से 20 सेमी दूर एक बिंदु पर चुंबकीय क्षेत्र का परिमाण 3.5 × 10^–5 T है।

प्रश्न 4.3: क्षैतिज तल में रखे एक लंबे सीधे तार में 50 A विद्युत धारा उत्तर से दक्षिण की ओर प्रवाहित हो रही है। तार के पूर्व में 2.5 m दूरी पर स्थित किसी बिंदु पर चुंबकीय क्षेत्र B का परिमाण और उसकी दिशा ज्ञात कीजिए।

उत्तर 4.3: तार में प्रवाहित धारा का परिमाण (I) = 50 A है।

बिंदु B तार के पूर्व से 2.5 मीटर दूर है।

अतः तार से बिंदु की दूरी (r) का परिमाण 2.5 मीटर है।

उस बिंदु पर चुंबकीय क्षेत्र का परिमाण निम्न संबंध द्वारा दिया जाता है:

\(|\bar B| = \frac{\mu_{0}\; 2I}{4\pi\; r}\)

जहाँ, \(\mu_{0}\) = मुक्त स्थान की पारगम्यता

= \(4\pi \times 10^{-7}\; T\;m\;A^{-1}\)

\(|\bar B| = \frac{4\pi \times 10^{-7}}{4\pi }\times \frac{2\times 50}{2.5}\)

= \(4 \times 10^{-6}\; T\)

जब हम दाहिने हाथ की हथेली के नियम का उपयोग करते हैं, तो चुंबकीय क्षेत्र की दिशा उपरिमुखी की ओर होती है।

प्रश्न 4.4: व्योमस्थ खिंचे क्षैतिज बिजली के तार में 90 A विद्युत धारा पूर्व से पश्चिम की ओर प्रवाहित हो रही है। तार के 1.5 m नीचे विद्युत धारा के कारण उत्पन्न चुम्बकीय क्षेत्र का परिमाण और दिशा क्या है?

उत्तर 4.4: विद्युत लाइन में धारा, I = 90 A

बिन्दु विद्युत लाइन के नीचे स्थित है, दूरी r = 1.5 मीटर

इसलिए, उस बिंदु पर चुंबकीय क्षेत्र निम्न संबंध द्वारा दिया जाता है,

\(B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r}\)

जहाँ,

μ₀ = मुक्त स्थान की पारगम्यता

= 4π × 10^-7 T mA^-1

\(B = \frac{(4\pi \times 10^{-7} \ \text{T m/A}) \times 90 \ \text{A}}{2\pi \times 1.5 \ \text{m}}\)

अभिव्यक्ति को सरलीकृत करें:

\(B = \frac{4\pi \times 10^{-7} \times 90}{3\pi} \ \text{T}\)

\(B = \frac{360\pi \times 10^{-7}}{3\pi} \)

\(\ \text{T} = \frac{360 \times 10^{-7}}{3} \ \text{T} = 120 \times 10^{-7} \ \text{T}\)

\(B = 1.2 \times 10^{-5} \ \text{T}\)

धारा पूर्व से पश्चिम की ओर बह रही है। बिंदु बिजली लाइन के नीचे है। इसलिए, मैक्सवेल के दाहिने हाथ के अंगूठे के नियम के अनुसार, चुंबकीय क्षेत्र की दिशा दक्षिण की ओर है।

प्रश्न 4.5: एक तार जिसमें 8 A विद्युत धारा प्रवाहित हो रही है, 0.15 T के एकसमान चुंबकीय क्षेत्र में, क्षेत्र से 30° का कोण बनाते हुए रखा है। इसकी एकांक लंबाई पर लगने वाले बल का परिमाण और इसकी दिशा क्या है?

उत्तर 4.5: तार में धारा, I = 8 A

एकसमान चुंबकीय क्षेत्र का परिमाण, B = 0.15 T

तार और चुंबकीय क्षेत्र के बीच का कोण, θ = 30°

तार पर प्रति इकाई लंबाई पर चुंबकीय बल इस प्रकार दिया गया है:

f = BI sinθ

= 0.15 × 8 × 1 × sin 30°

= 0.6 N m^–1

अतः तार पर प्रति इकाई लंबाई पर चुंबकीय बल 0.6 N m^–1 है।

प्रश्न 4.6: एक 3.0 cm लंबा तार जिसमें 10 A विद्युत धारा प्रवाहित हो रही है, एक परिनालिका के भीतर उसके अक्ष के लंबवत रखा है। परिनालिका के भीतर चुंबकीय क्षेत्र का मान 0.27 T है। तार पर लगने वाला चुंबकीय बल क्या है?

उत्तर 4.6: तार की लंबाई, l = 3 cm = 0.03 m

तार में प्रवाहित धारा, I = 10 A

चुंबकीय क्षेत्र, B = 0.27 T

धारा और चुंबकीय क्षेत्र के बीच का कोण, θ = 90°

तार पर लगाया गया चुंबकीय बल इस प्रकार है:

F = Bl sin θ

= 0.27 × 10 × 0.03 sin 90°

= 8.1 × 10^–2 N

अतः तार पर चुंबकीय बल 8.1 × 10^–2 N है। बल की दिशा फ्लेमिंग के बाएँ हाथ के नियम से प्राप्त की जा सकती है।

प्रश्न 4.7: एक-दूसरे से 4.0 cm की दूरी पर रखे दो लंबे, सीधे, समांतर तारों A एवं B से क्रमशः 8.0 A एवं 5.0 A की विद्युत धाराएँ एक ही दिशा में प्रवाहित हो रही हैं। तार A के 10 cm खंड पर बल का आकलन कीजिए।

उत्तर 4.7: तार A में प्रवाहित धारा, I_A = 8.0 A

तार B में प्रवाहित धारा, I_B = 5.0 A

दोनों तारों के बीच की दूरी, r = 4.0 cm= 0.04 m

तार A के एक परिच्छेद की लंबाई, l = 10 cm = 0.1 m

चुंबकीय क्षेत्र के कारण लंबाई l पर लगाया गया बल इस प्रकार दिया गया है:

\(F = \frac{\mu_0 I_1 I_2}{2 \pi d} \cdot L\)

जहाँ,

μ₀ = मुक्त स्थान की पारगम्यता = 4π × 10^-7 T mA^-1

\(F = \frac{(4\pi \times 10^{-7} \, \text{N/A}^2) \times 8.0 \, \text{A} \times 5.0 \, \text{A}}{2 \pi \times 0.04 \, \text{m}} \times 0.1 \, \text{m}\)

सरलीकरण:

\(F = \frac{4 \times 10^{-7} \times 8.0 \times 5.0}{0.08} \times 0.1 \, \text{N}\)

\(F = \frac{160 \times 10^{-7}}{0.08} \times 0.1 \, \text{N}\)

\(F = \frac{160 \times 10^{-7}}{8 \times 10^{-2}} \times 0.1 \, \text{N}\)

\(F = 200 \times 10^{-7} \, \text{N} \times 0.1\)

\(F = 2 \times 10^{-5} \, \text{N}\)

बल का परिमाण 2 × 10^–5 N है। यह A से B की ओर अभिलंबवत एक आकर्षक बल है, क्योंकि तारों में धाराओं की दिशा समान है।

प्रश्न 4.8: पास-पास फेरों वाली एक परिनालिका 80 cm लंबी है और इसमें 5 परतें हैं जिनमें से प्रत्येक में 400 फेरे हैं। परिनालिका का व्यास 1.8 cm है। यदि इसमें 8.0 A विद्युत धारा प्रवाहित हो रही है तो परिनालिका के भीतर केंद्र के पास चुंबकीय क्षेत्र B का परिमाण परिकलित कीजिए।

उत्तर 4.8: परिनालिका की लंबाई, l = 80 cm = 0.8 m

परिनालिका पर 400 फेरे वाली पाँच परतें होती हैं।

∴ परिनालिका पर कुल फेरों की संख्या, N = 5 × 400 = 2000

परिनालिका का व्यास, D = 1.8 cm = 0.018 m

परिनालिका द्वारा प्रवाहित धारा, I = 8.0 A

परिनालिका के केंद्र के पास उसके अंदर चुंबकीय क्षेत्र का परिमाण निम्न संबंध द्वारा दिया जाता है,

\(B = \frac{\mu_{0}NI}{l}\)

जहाँ,

μ₀ = मुक्त स्थान की पारगम्यता

= \(4\pi \times 10^{-7}\; T\;m\;A^{-1}\)

\(B = \frac{4\pi \times 10^{-7}\times 2000\times 8}{0.8}\)

= \(8π\times 10^{-3}\; T\) = \(2.5\times 10^{-2}\; T\)

अतः, परिनालिका के केंद्र के पास उसके अंदर चुंबकीय क्षेत्र का परिमाण 2.5 × 10^–2 T है।

प्रश्न 4.9: एक वर्गाकार कुंडली जिसकी प्रत्येक भुजा 10 cm है, में 20 फेरे हैं और उसमें 12 A विद्युत धारा प्रवाहित हो रही है। कुंडली ऊर्ध्वाधरतः लटकी हुई है और इसके तल पर खींचा गया अभिलंब 0.80 T के एकसमान चुंबकीय क्षेत्र की दिशा से 30° का एक कोण बनाता है। कुंडली पर लगने वाले बल-युग्म आघूर्ण का परिमाण क्या है?

उत्तर 4.9: वर्गाकार कुंडली की एक भुजा की लंबाई, l = 10 cm = 0.1 m

कुंडली में प्रवाहित धारा, I = 12 A

कुंडली पर फेरों की संख्या, n = 20

चुंबकीय क्षेत्र के साथ कुंडली के तल द्वारा बनाया गया कोण, θ = 30°

चुंबकीय क्षेत्र की ताकत, B = 0.80 T

चुंबकीय क्षेत्र में कुंडली द्वारा अनुभव किए गए बल-युग्म आघूर्ण का परिमाण निम्न संबंध द्वारा दिया जाता है,

τ = n BIA sin θ

जहाँ,

A = वर्गाकार कुंडली का क्षेत्रफल

= I × I

= 0.1 × 0.1

= 0.01 m²

∴ τ = 20 × 0.8 × 12 × 0.01 × sin 30°

= 0.96 N m

अतः कुंडली द्वारा अनुभव किए गए बल-युग्म आघूर्ण का परिमाण 0.96 N m है।

प्रश्न 4.10: दो चल कुंडली गैल्वेनोमीटर मीटरों M₁ एवं M₂ के विवरण नीचे दिए गए हैं:

• R₁ = 10 Ω, N₁ = 30,
• A₁ = 3.6 × 10^–3 m², B₁ = 0.25 T
• R₂ = 14 Ω, N₂ = 42,
• A₂ = 1.8 × 10^–3 m², B₂ = 0.50 T

1. M₂ एवं M₁ की धारा-सुग्राहिताओं,
2. M₂ एवं M₁ की वोल्टता-सुग्राहिताओं का अनुपात ज्ञात कीजिए।

उत्तर 4.10:

• M₁ मीटर चल कुंडली के लिए:
• प्रतिरोध, R₁ = 10 Ω
• फेरों की संख्या, N₁ = 30
• अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल, A₁ = 3.6 × 10^–3 m²
• चुंबकीय क्षेत्र की ताकत, B₁ = 0.25 T
• स्प्रिंग नियतांक K₁ = K

• M₂ मीटर चल कुंडली के लिए:
• प्रतिरोध, R₂ = 14 Ω
• फेरों की संख्या, N₂ = 42
• अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल, A₂ = 1.8 × 10^–3 m²
• चुंबकीय क्षेत्र की ताकत, B₂ = 0.50 T
• स्प्रिंग नियतांक K₂ = K

(a) M₁ की धारा-सुग्राहिता इस प्रकार दी गई है: \(I_{s1} = \frac{N_{1}B_{1}A_{1}}{K_{1}}\)

तथा, M₂ की धारा-सुग्राहिता इस प्रकार दी गई है: \(I_{s2} = \frac{N_{2}B_{2}A_{2}}{K_{2}}\)

\(∴ Ratio \frac{I_{s2}}{I_{s1}} = \frac{N_{2}B_{2}A_{2}}{N_{1}B_{1}A_{1}}\)

\(= \frac{42\times 0.5\times 1.8\times 10^{-3}\times K}{K\times 30\times 0.25\times 3.6\times 10^{-3}} = 1.4\)

अतः M₂ से M₁ की धारा-सुग्राहिताओं का अनुपात 1.4 है।

(b) M₂ के लिए वोल्टेज सुग्राहिता इस प्रकार दी गई है: \(V_{s2} = \frac{N_{2}B_{2}A_{2}}{K_{2}R_{2}}\)

तथा, M₁ के लिए वोल्टेज सुग्राहिता इस प्रकार दी गई है: \(V_{s1} = \frac{N_{1}B_{1}A_{1}}{K_{1}R_{1}}\)

\(∴ Ratio \frac{I_{s2}}{I_{s1}} = \frac{N_{2}B_{2}A_{2}K_{1}R_{1}}{N_{1}B_{1}A_{1}K_{2}R_{2}}\)

\(= \frac{42\times 0.5\times 1.8\times 10^{-3}\times 10\times K}{K\times 14\times 30\times 0.25\times 3.6\times 10^{-3}} = 1\)

अतः M₂ से M₁ की वोल्टता-सुग्राहिताओं का अनुपात 1 है।

प्रश्न 4.11: एक प्रकोष्ठ में 6.5 G (1 G = 10^–4 T) का एकसमान चुंबकीय क्षेत्र बनाए रखा गया है। इस चुंबकीय क्षेत्र में एक इलेक्ट्रॉन 4.8 × 10⁶ m s⁻¹ के वेग से क्षेत्र के लंबवत भेजा गया है। व्याख्या कीजिए कि इस इलेक्ट्रॉन का पथ वृत्ताकार क्यों होगा? वृत्ताकार कक्षा की त्रिज्या ज्ञात कीजिए। (e = 1.6 × 10^–19 C, m_e = 9.1 × 10^–31 kg)

उत्तर 4.11: चुंबकीय क्षेत्र की ताकत, B = 6.5 G = 6.5 × 10^–4 T

इलेक्ट्रॉन की गति, v = 4.8 × 10⁶ m/s

इलेक्ट्रॉन पर आवेश, e = 1.6 × 10^–19 C

इलेक्ट्रॉन का द्रव्यमान, m_e = 9.1 × 10^–31 kg

इलेक्ट्रॉन और चुंबकीय क्षेत्र के बीच का कोण, θ = 90°

चुंबकीय क्षेत्र में इलेक्ट्रॉन पर लगाया गया चुंबकीय बल इस प्रकार दिया गया है:

F = evB sin θ

यह बल गतिमान इलेक्ट्रॉन को अभिकेंद्रीय बल प्रदान करता है। इसलिए, इलेक्ट्रॉन त्रिज्या r के वृत्ताकार पथ पर गति करना शुरू कर देता है।

इसलिए, इलेक्ट्रॉन पर लगाया गया अभिकेंद्रीय बल,

\(F_{e} = \frac{mv^{2}}{r}\)

संतुलन में, इलेक्ट्रॉन पर लगाया गया अभिकेंद्रीय बल चुंबकीय बल के बराबर होता है, अर्थात,

F_e = F

= \(\frac{mv^{2}}{r} = evB\; sin\theta\)

= \(r = \frac{mv}{eB\;sin\theta}\)

इसलिए, \(r = \frac{9.1\times 10^{-31}\times 4.8\times 10^{6}}{6.5\times 10^{-4}\times 1.5\times 10^{-19}\times sin90°}\)

\(= 4.2\times 10^{-2}\; m = 4.2 cm\)

अतः इलेक्ट्रॉन की वृत्ताकार कक्षा की त्रिज्या 4.2 cm है।

प्रश्न 4.12: पिछला प्रश्न में, वृत्ताकार कक्षा में इलेक्ट्रॉन की परिक्रमण आवृत्ति प्राप्त कीजिए। क्या यह उत्तर इलेक्ट्रॉन के वेग पर निर्भर करता है? व्याख्या कीजिए।

उत्तर 4.12: चुंबकीय क्षेत्र की ताकत, B = 6.5 × 10⁻⁴ T

इलेक्ट्रॉन का आवेश, e = 1.6 × 10⁻¹⁹ C

इलेक्ट्रॉन का द्रव्यमान, m_e = 9.1 × 10⁻³¹ kg

इलेक्ट्रॉन का वेग, v = 4.8 × 10⁶ m/s

कक्षा की त्रिज्या, r = 4.2 cm = 0.042 m

इलेक्ट्रॉन की परिक्रमण आवृत्ति = ν

इलेक्ट्रॉन की कोणीय आवृत्ति = ω = 2πν

इलेक्ट्रॉन का वेग कोणीय आवृत्ति से इस प्रकार संबंधित है:

v = rω

वृत्ताकार कक्षा में इलेक्ट्रॉन पर चुंबकीय बल केंद्राभिमुख बल द्वारा संतुलित होता है। इसलिए, हम लिख सकते हैं:

\(\frac{mv^{2}}{r} = evB\)

= \(eB = \frac{mv}{r} = \frac{m(r\omega)}{r} = \frac{m(r.2\pi v)}{r}\)

= \(v = \frac{Be}{2\pi m}\)

आवृत्ति के लिए यह अभिव्यक्ति इलेक्ट्रॉन की गति से स्वतंत्र है।

इस व्यंजक में ज्ञात मान प्रतिस्थापित करने पर, हमें आवृत्ति इस प्रकार प्राप्त होती है:

\(v = \frac{6.5\times 10^{-4}\times 1.6\times 10^{-19}}{2\times 3.14\times 9.1\times 10^{-31}}\)

\(= 1.82\times 10^{6}\; Hz \approx 18\;MHz\)

इसलिए, इलेक्ट्रॉन की आवृत्ति लगभग 18 MHz है और यह इलेक्ट्रॉन की गति से स्वतंत्र है।

प्रश्न 4.13: 30 फेरों वाली एक वृत्ताकार कुंडली जिसकी त्रिज्या 8.0 cm है और जिसमें 6.0 A विद्युत धारा प्रवाहित हो रही है, 1.0 T के एकसमान क्षैतिज चुंबकीय क्षेत्र में ऊर्ध्वाधरतः लटकी है। क्षेत्र रेखाएँ कुंडली के अभिलंब से 60° का कोण बनाती हैं। कुंडली को घूमने से रोकने के लिए जो प्रति आघूर्ण लगाया जाना चाहिए उसके परिमाण परिकलित कीजिए। (b) यदि (a) में बतायी गई वृत्ताकार कुंडली को उसी क्षेत्रफल की अनियमित आकृति की समतलीय कुंडली से प्रतिस्थापित कर दिया जाए (शेष सभी विवरण अपरिवर्तित रहें) तो क्या आपका उत्तर परिवर्तित हो जाएगा?

उत्तर 4.13: वृत्ताकार कुंडली पर फेरों की संख्या, n = 30
कुंडली की त्रिज्या, r = 8.0 cm = 0.08 m
कुंडली का क्षेत्रफल = πr² = π(0.08)² = 0.0201 m²
कुंडली में प्रवाहित धारा, I = 6.0 A
चुंबकीय क्षेत्र की ताकत, B = 1 T
क्षेत्र रेखाओं और कुंडली सतह के साथ अभिलंब के बीच का कोण,
θ = 60°
कुंडली चुंबकीय क्षेत्र में आघूर्ण का अनुभव करती है। इसलिए, यह घूमती है। कुंडली को घूमने से रोकने के लिए लगाया गया प्रति आघूर्ण निम्न संबंध द्वारा दिया जाता है,
τ = n IBA sin θ ………..(i)
= 30 × 6 × 1 × 0.0201 × sin 60°
= 3.133 N m

(b) संबंध (i) से यह अनुमान लगाया जा सकता है कि लगाए गए आघूर्ण का परिमाण कुंडली के आकार पर निर्भर नहीं है। यह कुंडली के क्षेत्रफल पर निर्भर करता है। इसलिए, यदि उपरोक्त मामले में वृत्ताकार कुंडली को किसी अनियमित आकार की समतल कुंडली से बदल दिया जाए जो समान क्षेत्रफल को घेरे हुए हो, तो उत्तर नहीं बदलेगा।