वैधुतचुंबकीय तरंगे प्रश्न उत्तर Ncert Solution for Class 12 Physics Chapter 8 in Hindi

Class 12 Physics Chapter 8 वैधुतचुंबकीय तरंगे
ncert solutions: वैधुतचुंबकीय तरंगे प्रश्न उत्तर

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प्रश्न 8.1: चित्र में एक संधारित्र दर्शाया गया है जो 12 cm त्रिज्या की दो वृत्ताकार प्लेटों को 5.0 cm की दूरी पर रखकर बनाया गया है। संधारित्र को एक बाह्य स्रोत (जो चित्र में नहीं दर्शाया गया है) द्वारा आवेशित किया जा रहा है। आवेशकारी धारा नियत है और इसका मान 0.15 A है।

• (a) धारिता एवं प्लेटों के बीच विभवांतर परिवर्तन की दर का परिकलन कीजिए।
• (b) प्लेटों के बीच विस्थापन धारा ज्ञात कीजिए।
• (c) क्या किरचॉफ का प्रथम नियम संधारित्र की प्रत्येक प्लेट पर लागू होता है? स्पष्ट कीजिए।

उत्तर 8.1: प्रत्येक वृत्ताकार प्लेट की त्रिज्या r = 12 cm = 0.12 m

प्लेटों के बीच की दूरी d = 5 cm = 0.05 m

आवेशकारी धारा I = 0.15 A

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चुंबकशीलता ε₀ = 8.854 × 10⁻¹² C² N⁻¹ m⁻²

(a) संधारित्र की धारिता \(C = \frac{\varepsilon _{0} A}{d}\)

जहाँ

A = प्रत्येक प्लेट का क्षेत्रफल = 𝝅r²

\(C = \frac{\varepsilon _{0} \pi r^{2}}{d}\)

= \(\frac{8.85\times 10^{-12}\times \pi (0.12)^{2}}{0.05}\)

= 8.0032 × 10^-12 F

= 80.032 pF

किसी क्षण संधारित्र पर आवेश q = CV

जहाँ

V प्लेटों के बीच विभवांतर है

समय (t) के संबंध में दोनों पक्षों पर विभेदन से प्राप्त होता है: \(\frac{\mathrm{d} q}{\mathrm{d} t} = C \frac{\mathrm{d} V}{\mathrm{d} t}\)

लेकिन \(\frac{\mathrm{d} q}{\mathrm{d} t}\)

= Current (I) \(∴\frac{\mathrm{d} V}{\mathrm{d} t} = \frac{I}{C}\)

= \(\frac{0.15}{80.032\times 10^{-12}} = 1.87\times 10^{9}\; V/s\)

इसलिए, प्लेटों के बीच विभवान्तर में परिवर्तन है \(1.87\times 10^{9}\; V/s\)

(b) विस्थापन धारा: विस्थापन धारा का परिकलन करने के लिए हम यह मान सकते हैं कि संधारित्र में बहने वाली आवेशकारी धारा और विस्थापन धारा बराबर होती है। यह तब होता है जब संधारित्र आवेशित हो रहा होता है। तो यहाँ विस्थापन धारा (I_d) होगी: I_d = I = 0.15 A

(c) हाँ, किरचॉफ का प्रथम नियम संधारित्र की प्रत्येक प्लेट पर भी लागू होता है, क्योंकि I_d = I होता है।

किरचॉफ का प्रथम नियम कहता है कि किसी नोड पर आने वाली कुल धारा, उस नोड से बाहर जाने वाली कुल धारा के बराबर होती है।

संधारित्र की प्रत्येक प्लेट पर किरचॉफ का नियम तब लागू होता है जब आवेश (charge) संचित हो रहा हो। संधारित्र में एक प्लेट पर जितना आवेश आएगा, उतना ही आवेश दूसरी प्लेट पर से बाहर जाएगा। इसलिए, प्लेटों पर यह नियम लागू होगा।

हालांकि, प्लेटों के बीच में जब धारा बहती है, तब विस्थापन धारा उत्पन्न होती है, जो कि वास्तविक धारा नहीं होती, लेकिन प्लेटों के बीच के क्षेत्र में विद्युत क्षेत्र की दर में परिवर्तन के कारण उत्पन्न होती है। इसलिए, संधारित्र की प्लेटों पर किरचॉफ का प्रथम नियम लागू होता है क्योंकि संपूर्ण प्रणाली में धारा का संतुलन बना रहता है।

प्रश्न 8.2: एक समांतर प्लेट संधारित्र, R = 6.0 cm त्रिज्या की दो वृत्ताकार प्लेटों से बना है और इसकी धारिता C = 100 pF है। संधारित्र को 230 V, 300 rad s⁻¹ की (कोणीय) आवृत्ति के किसी स्रोत से जोड़ा गया है।

• (a) चालन धारा का rms मान क्या है?
• (b) क्या चालन धारा विस्थापन धारा के बराबर है?
• (c) प्लेटों के बीच, अक्ष से 3.0 cm की दूरी पर स्थित बिंदु पर B का आयाम ज्ञात कीजिए।

उत्तर 8.2: प्रत्येक वृत्ताकार प्लेट की त्रिज्या, R = 6.0 cm = 0.06 m

समांतर प्लेट संधारित्र की धारिता, C = 100 pF = 100 × 10⁻¹² F

आपूर्ति वोल्टेज = V = 230 V

कोणीय आवृत्ति, ω = 300 rad s⁻¹

(a) चालन धारा का rms मान, I = \(\frac{V}{X_{c}}\)

जहाँ, X_C = संधारित्र की धारिता = \(\frac{1}{\omega C}\)

\(∴ I = V\times \omega C\)

= 230 × 300 × 100 × 10^-12

= 6.9 × 10^-6 A

= 6.9 μA

अतः चालन धारा का rms मान 6.9 μA है।

(b) हाँ, चालन धारा विस्थापन धारा के बराबर होती है।

(c) चुंबकीय क्षेत्र इस प्रकार दिया गया है: \(B = \frac{\mu_{0}r}{2\pi R^{2}}I_{0}\)

जहाँ,

μ₀ = मुक्त स्थान पारगम्यता = 4π × 10⁻⁷ N A⁻² 

I₀ = धारा का अधिकतम मान = \(\sqrt{2}\; I\)

r = अक्ष से प्लेटों के बीच की दूरी = 3.0 cm = 0.03 m

\(∴B = \frac{4\pi\times 10^{-7}\times 0.03\times \sqrt{2}\times 6.9\times 10^{-6}}{2\pi \times (0.06)^{2}}\)

= 1.63 × 10^-11 T

अतः उस बिंदु पर चुंबकीय क्षेत्र 1.63 × 10⁻¹¹ T है।

प्रश्न 8.3: 10⁻¹⁰ m तरंगदैर्घ्य की X-किरणों, 6800 Å तरंगदैर्घ्य के प्रकाश तथा 500 m की रेडियो तरंगों के लिए किस भौतिक राशि का मान समान है?

उत्तर 8.3: X-किरणों, दृश्यमान प्रकाश, और रेडियो तरंगों के संदर्भ में, इन तीनों के लिए समान भौतिक राशि तरंगों का वेग है, जो कि निर्वात में होता है। यह सभी प्रकार की विद्युतचुंबकीय तरंगों (electromagnetic waves) के लिए निर्वात में एक समान होता है। इस वेग को ( c ) द्वारा दर्शाया जाता है, जिसका मान होता है:

\(c = 3 \times 10^8 \, \text{m/s}\)

निर्वात में सभी विद्युतचुंबकीय तरंगें, चाहे वे X-किरणें हों, दृश्यमान प्रकाश हो, या रेडियो तरंगें हों, समान वेग से चलती हैं, अर्थात \( 3 \times 10^8 \, \text{m/s} \) (प्रकाश का वेग)।

प्रश्न 8.4: एक समतल विद्युतचुंबकीय तरंग निर्वात में z-अक्ष के अनुदिश चल रही है। इसके विद्युत तथा चुंबकीय-क्षेत्रों के सदिश की दिशा के बारे में आप क्या कहेंगे? यदि तरंग की आवृत्ति 30 MHz हो तो उसकी तरंगदैर्घ्य कितनी होगी?

उत्तर 8.4: विद्युतचुंबकीय तरंग शून्य में z-दिशा में यात्रा करती है। विद्युत क्षेत्र (E) और चुंबकीय क्षेत्र (H) x-y तल में हैं और परस्पर लंबवत हैं।

तरंग की आवृत्ति, v = 30 MHz = 30 × 10⁶ s⁻¹

निर्वात में प्रकाश की गति, c = 3 × 10⁸ m/s

एक तरंग की तरंगदैर्घ्य इस प्रकार दी गई है: \(\lambda = \frac{c}{v}\)

= \(\frac{3\times 10^{8}}{30\times 10^{6}}\)

= 10 m

प्रश्न 8.5: एक रेडियो 7.5 MHz से 12 MHz बैंड के किसी स्टेशन से समस्वरित हो सकता है। संगत तरंगदैर्घ्य बैंड क्या होगा?

उत्तर 8.5: प्रश्न में दिए गए अनुसार, एक रेडियो 7.5 MHz से 12 MHz की आवृत्ति के बैंड में किसी स्टेशन से समस्वरित (tune) हो सकता है। हमें इस आवृत्ति बैंड के लिए संगत (corresponding) तरंगदैर्घ्य बैंड ज्ञात करना है।

तरंगदैर्घ्य \(( \lambda )\) और आवृत्ति \(( \nu )\) के बीच संबंध निम्नलिखित सूत्र से दिया जाता है:

\(\lambda = \frac{c}{\nu}\)

जहाँ:

• \( \lambda \) = तरंगदैर्घ्य (wavelength)
• \( c = 3 \times 10^8 \, \text{m/s} \) (निर्वात में प्रकाश का वेग)
• \( \nu \) = आवृत्ति (frequency)

अब, हम 7.5 MHz और 12 MHz की आवृत्तियों के लिए तरंगदैर्घ्य निकालते हैं।

1 MHz = 10⁶ Hz होता है, तो:

• \( \nu_1 = 7.5 \, \text{MHz} = 7.5 \times 10^6 \, \text{Hz} \)
• \( \nu_2 = 12 \, \text{MHz} = 12 \times 10^6 \, \text{Hz} \)

1. 7.5 MHz के लिए तरंगदैर्घ्य:

\(\lambda_1 = \frac{c}{\nu_1} = \frac{3 \times 10^8 \, \text{m/s}}{7.5 \times 10^6 \, \text{Hz}} = 40 \, \text{m}\)

2. 12 MHz के लिए तरंगदैर्घ्य:

\(\lambda_2 = \frac{c}{\nu_2} = \frac{3 \times 10^8 \, \text{m/s}}{12 \times 10^6 \, \text{Hz}} = 25 \, \text{m}\)

संगत तरंगदैर्घ्य बैंड 40 m से 25 m होगा।

प्रश्न 8.6: एक आवेशित कण अपनी माध्य साम्यावस्था के दोनों ओर 10⁹ Hz आवृत्ति से दोलन करता है। दोलक द्वारा जनित विद्युतचुंबकीय तरंगों की आवृत्ति कितनी है?

उत्तर 8.6: हम जानते हैं कि त्वरित अथवा कम्पित आवेशित कण कम्पित विद्युत क्षेत्र उत्पन्न करता है। यह विद्युत क्षेत्र, कम्पित चुंबकीय-क्षेत्र उत्पन्न करता है। ये दोनों क्षेत्र मिलकर वैद्युतचुंबकीय तरंग उत्पन्न करते हैं; जिसकी आवृत्ति, कम्पित कण के दोलनों की आवृत्ति के बराबर होती है।

तरंगों की आवृत्ति v = 10⁹ Hz

प्रश्न 8.7: निर्वात में एक आवर्त विद्युतचुंबकीय तरंग के चुंबकीय-क्षेत्र वाले भाग का आयाम B₀ = 510 nT है। तरंग के विद्युत क्षेत्र वाले भाग का आयाम क्या है?

उत्तर 8.7: निर्वात में विद्युतचुंबकीय तरंग के चुंबकीय-क्षेत्र का आयाम,

B₀ = 510 nT = 510 × 10⁻⁹ T

निर्वात में प्रकाश की गति, c = 3 × 10⁸ m/s

विद्युतचुंबकीय तरंग के विद्युत क्षेत्र का आयाम निम्न संबंध द्वारा दिया जाता है, 

E = cB₀

= 3 × 10⁸ × 510 × 10⁻⁹

= 153 N/C

इसलिए, तरंग का विद्युत क्षेत्र भाग 153 N/C है।

प्रश्न 8.8: कल्पना कीजिए कि एक वैद्युतचुंबकीय तरंग के विद्युत क्षेत्र का आयाम E₀ = 120 N/C है तथा इसकी आवृत्ति v = 50.0 MHz है। (a) B₀, ω, k तथा λ ज्ञात कीजिए। (b) E तथा B के लिए व्यंजक प्राप्त कीजिए।

उत्तर 8.8: विद्युत क्षेत्र का आयाम, E₀ = 120 N/C

स्रोत की आवृत्ति, v = 50.0 MHz = 50 × 10⁶ Hz

प्रकाश की गति, c = 3 × 10⁸ m/s

(a) चुंबकीय क्षेत्र की ताकत का परिमाण इस प्रकार दिया गया है: \(B_{0} = \frac{E_{0}}{c} \)

= \(\frac{120}{3\times 10^{8}} \)

= 40 × 10^-8 = 400 × 10^-9 T

= 400nT

स्रोत की कोणीय आवृत्ति इस प्रकार दी गई है:

ω = 2πv

= 2π × 50 × 10⁶

= 3.14 × 10⁸ rad/s

प्रसार स्थिरांक इस प्रकार दिया गया है: \(k = \frac{\omega }{c} \)

= \(\frac{3.14\times 10^{8}}{3\times 10^{8}} = 1.05\; rad/m \)

तरंग की तरंगदैर्घ्य इस प्रकार दी गई है: \(\lambda = \frac{c}{v} \)

= \(\frac{3\times 10^{8}}{50\times 10^{6}} \)

= 6.0 m

(b) मान लीजिए कि तरंग धनात्मक x-दिशा में प्रसारित हो रही है। तब, विद्युत क्षेत्र सदिश धनात्मक y-दिशा में होगा और चुंबकीय क्षेत्र सदिश धनात्मक z-दिशा में होगा। ऐसा इसलिए है क्योंकि तीनों सदिश परस्पर लंबवत हैं।

विद्युत क्षेत्र सदिश का समीकरण इस प्रकार दिया गया है:

\(\overline{E} = E_{0}\;sin(kx – \omega t)\;\widehat{j} \)

= \(120\;sin[1.05x – 3.14\times 10^{8}t]\;\widehat{j} \)

चुंबकीय क्षेत्र सदिश का समीकरण इस प्रकार दिया गया है:

\(\overline{B} = B_{0}\;sin(kx – \omega t)\;\widehat{k} \)

\(\overline{B} = (400 \times 10^{-9}) sin[1.05x – 3.14\times 10^{8}t]\;\widehat{k} \)

प्रश्न 8.9: वैद्युतचुंबकीय स्पेक्ट्रम के विभिन्न भागों की पारिभाषिकी पाठ्यपुस्तक में दी गई है। सूत्र E = hν (विकिरण के एक क्वांटम की ऊर्जा के लिए : फोटॉन) का उपयोग कीजिए तथा em वर्णक्रम के विभिन्न भागों के लिए eV के मात्रक में फोटॉन की ऊर्जा निकालिए। फोटॉन ऊर्जा के जो विभिन्न परिमाण आप पाते हैं वे वैद्युतचुंबकीय विकिरण के स्रोतों से किस प्रकार संबंधित हैं?

उत्तर 8.9: एक फोटॉन की ऊर्जा इस प्रकार दी गयी है: E = hv = \(\frac{hc}{\lambda}\)

जहाँ,

h = प्लैंक स्थिरांक = 6.6 × 10⁻³⁴ Js 

c = प्रकाश की गति = 3 × 10⁸ m/s

λ = विकिरण की तरंगदैर्घ्य

दी गई तालिका विभिन्न λ के लिए वैद्युतचुंबकीय  स्पेक्ट्रम के विभिन्न भागों के लिए फोटॉन ऊर्जाओं को सूचीबद्ध करती है।

किसी स्रोत के स्पेक्ट्रम के विभिन्न भागों के लिए फोटॉन ऊर्जा, स्रोत के प्रासंगिक ऊर्जा स्तरों के अंतराल को दर्शाती हैं।

प्रश्न 8.10: एक समतल em तरंग में विद्युत क्षेत्र, 2.0 × 10¹⁰ Hz आवृत्ति तथा 48 V m⁻¹ आयाम से ज्यावक्रीय रूप से दोलन करता है।

• (a) तरंग की तरंगदैर्घ्य कितनी है?
• (b) दोलनशील चुंबकीय-क्षेत्र का आयाम क्या है?
• (c) यह दर्शाइए E क्षेत्र का औसत ऊर्जा घनत्व, B क्षेत्र के औसत ऊर्जा घनत्व के बराबर है। [c = 3 × 10⁸ m s^–1.]

उत्तर 8.10: वैद्युतचुंबकीय तरंग की आवृत्ति, v = 2.0 × 10¹⁰ Hz

विद्युत क्षेत्र का आयाम, E₀ = 48 V m⁻¹

प्रकाश की गति, c = 3 × 10⁸ m/s

(a) तरंग की तरंगदैर्घ्य: \(\lambda = \frac{c}{v}\)

= \(\frac{3\times 10^{8}}{2\times 10^{10}} = 0.015\; m\)

(b) दोलनशील चुंबकीय-क्षेत्र का आयाम: \(B_{0} = \frac{E_{0}}{c}\)

= \(\frac{48}{3\times 10^{8}} = 1.6\times 10^{-7}\; T\)

(c) विद्युत क्षेत्र का औसत ऊर्जा घनत्व: \(U_{E} = \frac{1}{2}\; \epsilon _{0} \;E^{2}\)

जबकि चुंबकीय-क्षेत्र का औसत ऊर्जा घनत्व: \(U_{B} = \frac{1}{2\mu_{0}}B^{2}\)

जहाँ,

∈₀ = विद्युतशीलता का मुक्त स्थान

μ₀ = चुंबकशीलता का मुक्त स्थान

हमारे पास E और B को जोड़ने वाला संबंध इस प्रकार है:

E = cB …. (1)

जहाँ,

\(c = \frac{1}{\sqrt{\epsilon_{0}\; \mu_{0}}}\) ……(2)

समीकरण (2) को समीकरण (1) में रखने पर, हमें प्राप्त होता है \(E = \frac{1}{\sqrt{\epsilon_{0}\; \mu_{0}}}\; B\)

दोनों पक्षों का वर्ग करने पर, हमें प्राप्त होता है \(E^{2} = \frac{1}{\epsilon_{0}\; \mu_{0}}\; B^{2}\)

\(\epsilon_{0}\; E^{2} = \frac{B^{2}}{\mu_{0}}\)

= \(\frac{1}{2}\; \epsilon_{0}\; E^{2} = \frac{1}{2}\; \frac{B^{2}}{\mu_{0}}\)

= \(U_{E} = U_{B}\)